How do you implicitly differentiate #6=ylny/x#?

Question

1898 views around the world

You can reuse this answer
Creative Commons License

Answer 1 · 2016-09-05T16:56:43

#dy/dx=6/(1+lny), or, =6(lney)^-1#.

Rewriting the eqn. as, # : 6x=ylny#

#:. ln(6x)=ln(ylny)#

#:. ln6+lnx=lny+ln(lny)#

#:. d/dx ln6+lnx=d/dx(lny+ln(lny))#

#:. 0+1/x=d/dy(lny+ln(lny))dy/dx........."[Chain Rule]"#

#:. 1/x={1/y+1/lnyd/dy(lny)}dy/dx#

#:. 1/x={(1/y+1/lny*1/y)}dy/dx#.

#:. 1/x=1/y(1+1/lny)dy/dx=1/y((1+lny)/lny)dy/dx#

#=((1+lny)/(ylny))dy/dx#

#:. dy/dx=(ylny)/(x(1+lny))#.

Remembering that, by the original eqn., #ylny=6x#, we have,

#dy/dx=6/(1+lny), or, 6/(lne+lny)=6/ln(ey)=6(lney)^-1#.

Alternatively,

#6x=ylny rArr d/dy(6x)=d/dy(ylny)#

#rArr 6dx/dy=yd/dy(lny)+(lny)*d/dy(y)#

#rArr 6dx/dy=y*1/y+lny=1+lny#

#rArr dx/dy=(1+lny)/6#

#rArr dy/dx=1/(dx/dy)=6/(1+lny)#, as before.!

Enjoy maths.!