How do you integrate #int xarcsecx# by parts from #[2,4]#?

Question

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Answer 1 · 2016-12-09T14:43:13

The answer is #=7.39#

If #y=arcsecx#

#secy=x#

#1/cosy=x#

#cosy=1/x=x^(-1)#

#siny=sqrt(x^2-1)/x#

#(-siny)dy/dx=-1/x^2#

#dy/dx=1/(x^2siny)#

#=1/(x^2*sqrt(x^2-1)/x)=1/(xsqrt(x^2-1))#

#intuv'=uv-intu'v#

#u=arcsecx#, #u'=1/(xsqrt(x^2-1))#

#v'=x#, #v=x^2/2#

#intxarcsecxdx=x^2/2arcsecx-int(x^2dx)/(2xsqrt(x^2-1))#

#int(x^2dx)/(2xsqrt(x^2-1))=1/2int(xdx)/sqrt(x^2-1)#

Let #u=x^2-1#, #du=2xdx#, #xdx=(du)/2#

#1/2int(xdx)/sqrt(x^2-1)=1/4int(du)/(sqrtu)#

#=1/4*sqrtu/(1/2)#

#=1/2sqrtu=1/2*sqrt(x^2-1)#

So,

#intxarcsecxdx=x^2/2arcsecx-1/2*sqrt(x^2-1)#

#int_2^4xarcsecxdx= [x^2/2arcsecx]_2^4 - [1/2*sqrt(x^2-1)]_2^4#

#=16/2arcsec4-4/2arcsec2-(1/2*sqrt15-1/2sqrt3)#

#=8*1.32-2*1.05-1/2(sqrt15-sqrt3)#

#=10.56-2.1-1.07#

#=7.39#