A different approach.
Using de Moivre's identity
#sin x=(e^(ix)-e^(-ix))/(2i)# we have
#(e^(3ix)-e^(-3ix))/(2i)+(e^(ix)-e^(-ix))/(2i)=0#
and now using #a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)# we have
#(e^(ix)-e^(-ix))(e^(2ix)+1+e^(-2ix))+(e^(ix)-e^(-ix))=0# or
#(e^(ix)-e^(-ix))(e^(2ix)+2+e^(-2ix))=0#
then
#{(e^(ix)-e^(-ix)=0),(e^(2ix)+2+e^(-2ix)=0):}#
and from
#e^(ix)-e^(-ix)=0->e^(-ix)(e^(2ix)-1)=0->2x=0+2kpi->x = kpi# because #e^(-ix) ne 0#
and from
#e^(2ix)+2+e^(-2ix)=0# calling #y = e^(2ix)# we have
#1/y(y+1)(y+1)=0->y = e^(2ix)=-1# because #e^(-2ix) ne 0#
so
#e^(2ix)=-1->2x=pi+2kpi->x = pi/2+kpi#
Resuming, the solutions are:
#x=(kpi)uu(pi/2+kpi),k=0,pm1,pm2,cdots#
and in the interval #[0,pi]# we have the set
#x = {0,pi/2,pi}#