#inte^(2x)sin(3x)dx#
if #u=e^(2x)# and #dv=sin(3x)dx#, then #du=2e^(2x)dx# and #v=-1/3cos(3x)#.
using integration by parts, the integral becomes:
#-1/3e^(2x)cos(3x)-int-1/3*2e^(2x)cos(3x)dx#
#=-1/3e^(2x)cos(3x)+2/3inte^(2x)cos(3x)dx#
integrate by parts again:
#u=e^(2x)# and #dv=cos(3x)dx#, which means #du=2e^(2x)dx# and #v=1/3sin(3x)#
the integral is now:
#=-1/3e^(2x)cos(3x)+2/3(1/3e^(2x)sin(3x)-int2*1/3e^(2x)sin(3x)dx)#
#=-1/3e^(2x)cos(3x)+2/9e^(2x)sin(3x)-2/3int2/3e^(2x)sin(3x)dx#
#=-1/3e^(2x)cos(3x)+2/9e^(2x)sin(3x)-4/9inte^(2x)sin(3x)dx#
remember that this expression is equal to the original integral, meaning:
#inte^(2x)sin(3x)dx=-1/3e^(2x)cos(3x)+2/9e^(2x)sin(3x)-4/9inte^(2x)sin(3x)dx#
solve for #inte^(2x)sin(3x)dx#:
#13/9inte^(2x)sin(3x)dx=-1/3e^(2x)cos(3x)+2/9e^(2x)sin(3x)#
#inte^(2x)sin(3x)dx=9/13(-1/3e^(2x)cos(3x)+2/9e^(2x)sin(3x))#
#inte^(2x)sin(3x)dx=-3/13e^(2x)cos(3x)+2/13e^(2x)sin(3x)#
