Let, #z=x-pi/4. :." As "x to pi/4, z to 0#.
Also, #(1-tanx)/(1-sqrt2sinx)#,
#={1-tan(z+pi/4)}-:{1-sqrt2sin(z+pi/4)}#,
#={1-(tanz+tan(pi/4))/(1-tan(pi/4)tanz)}-:{1-sqrt2(sinzcos(pi/4)+coszsin(pi/4)}#,
#={1-(tanz+1)/(1-tanz)}-:{1-sqrt2(1/sqrt2sinz+1/sqrt2cosz}#,
#={(1-tanz-tanz-1)/(1-tanz)}-:(1-sinz-cosz)#,
#={(-2tanz)/(1-tanz)}-:{(1-cosz)-sinz}#,
#={(-2tanz)/(1-tanz)}-:{2sin^2(z/2)-2sin(z/2)cos(z/2)}#,
#={(-2tanz)/(1-tanz)}-:[2sin(z/2){sin(z/2)-cos(z/2)}]#,
#=tanz/sin(z/2)*1/{(tanz-1)(sin(z/2)-cos(z/2))}#,
#={tanz/z*z}/{sin(z/2)/(z/2)*z/2}*1/{(tanz-1)(sin(z/2)-cos(z/2))}#,
#={tanz/z}/{sin(z/2)/(z/2)}*2/{(tanz-1)(sin(z/2)-cos(z/2))}#.
Since, #lim_(z to 0)tanz/z=1, lim_(zto 0)sin(z/2)/(z/2)=1#, we get,
#"The Reqd. Lim."=1/1*2/{(tan0-1)(sin0-cos0)}=2/{(-1)(-1)}=2#,
as desired!