How to integrate #int(e^2x+e^-2x)/(e^2x-e^-2x)dx?

3 Answers
May 23, 2018

We can rewrite as

#I = int (e^(2x) + 1/e^(2x))/(e^(2x) - 1/e^(2x)) dx#

#I = int((e^(4x) + 1)/e^(2x))/((e^(4x) - 1)/e^(2x)) dx#

#I = int(e^(4x) + 1)/(e^(4x) - 1)dx#

Let #u = 4x#. Then #du = 4dx# and #dx= (du)/4#

#I = 1/4 int (e^u + 1)/(e^u - 1)du#

Now use partial fractions.

#A/(e^u - 1) + B/1 = (e^u + 1)/(e^u - 1)#

#A + Be^u - B = e^u + 1#

We can readily see that #B = 1# and therefore #A = 2#.

Thus

#I = 1/4(int 2/(e^u - 1) + 1 du)#

#I = 1/2ln|e^u - 1| + 1/4u + C#

#I = 1/2ln|e^(4x) - 1| + x + C#

Hopefully this helps!

May 23, 2018

The answer is #=1/2ln(1/2(|e^(2x)-e^-(2x)|)+C#

Explanation:

The function is

#((e^(2x)-e^-(2x)))/((e^(2x)-e^-(2x)))=coth(2x)=cosh(2x)/sinh(2x)#

Therefore, the integral is

#I=int((e^(2x)-e^-(2x))dx)/(e^(2x)-e^-(2x))#

#=intcoth(2x)dx#

#=int(cosh(2x)dx)/sinh(2x)#

Let #u=sinh(2x)#, #=>#, #du=2cosh(2x)dx#

So, the integral is

#I=1/2int(du)/(u)#

#=1/2ln(u)#

#=1/2ln(sinh(2x))+C#

#=1/2ln(1/2(|e^(2x)-e^-(2x)|)+C#

May 23, 2018

We have,

#int (e^(2x) + e^(-2x))/(e^(2x) - e^(-2x))dx#

Let's Substitute #u = e^(2x) - e^(-2x)#.

So, #du = 2e^(2x) - (-2e^(-2x))dx rArr du = 2e^(2x) + 2e^(-2x)dx#

#rArr dx = 1/(2e^(2x) + 2e^(-2x)) du#

So,

#int (e^(2x) + e^(-2x))/(e^(2x) - e^(-2x))dx#

#= int cancel(e^(2x) + e^(-2x))/u xx (1/(2cancel((e^(2x) + e^(-2x))))) du#

#= 1/2 int 1/(u) du#

#= 1/2 ln|u| + C#

#= 1/2 ln|e^(2x) - e^(-2x)| + C#

#= 1/2 ln|e^(-2x)(e^(4x) - 1)| + C#

#= 1/2 ln |e^(-2x)| + 1/2 ln|e^(4x) - 1| + C#

#= 1/2 xx -2x + 1/2 ln|e^(4x) - 1| + C#

#= 1/2 ln|e^(4x) - 1| - x + C#

Hope this helps.