We have #ABC# a scalene triangle, and a point #M# in plane of this triangle. How to prove that #vec(AB)*vec(CM)+vec(AC)*vec(MB)+vec(AM)*vec(BC) = 0#?

2 Answers
Narad T.
Jul 10, 2018

Please see the proof below

Explanation:

Apply Chasles' Relation

#vec(AB)*vec(CM)=(vec(AM)+vec(MB))vec(CM)=vec(AM)*vec(CM)+vec(MB)*vec(CM)#

#vec(AC)*vec(MB)=(vec(AM)+vec(MC))vec(MB)=vec(AM)*vec(MB)+vec(MC)*vec(MB)#

#vec(BC)*vec(AM)=(vec(BM)+vec(MC))vec(AM)=vec(BM)*vec(AM)+vec(MC)*vec(AM)#

But,

#vec(CM)=-vec(MC)#

#vec(MB)=-vec(BM)#

Therefore, Adding the first #3# equations

#(vec(AB)*vec(CM)+vec(AC)*vec(MB)+vec(BC)*vec(AM))#

#=vec(AM)*vec(CM)+vec(MB)*vec(CM)+vec(AM)*vec(MB)+vec(MC)*vec(MB)+vec(BM)*vec(AM)+vec(MC)*vec(AM)#

#=vec(AM)*vec(CM)-vec(AM)*vec(CM)+vec(MB)*vec(CM)-vec(MB)*vec(CM)+vec(AM)*vec(MB)-vec(AM)*vec(MB)#

#=0#

P dilip_k
Jul 10, 2018

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We have #ABC# a scalene triangle, and a point #M# in the plane of this triangle. We are to prove that #vec(AB)*vec(CM)+vec(AC)*vec(MB)+vec(AM)*vec(BC) = 0#

Now by triangle law we have

For #DeltaABC,vec(AB)=vec(AC)+vec(CB)....[1]#

For #DeltaBMC,vec(CM)=vec(CB)-vec(MB).. .[2]#

For #DeltaAMC,vec(CM)=vec(AM)-vec(AC).. .[3]#

Now using [1] we get

#vec(AB)*vec(CM)=vec(AC)*vec(CM)+vec(CB)*vec(CM)#

#=>vec(AB)*vec(CM)=vec(AC)*vec(CM)-vec(BC)*vec(CM)#

#=>vec(AB)*vec(CM)=vec(AC)*(vec(CB)-vec(MB))-vec(BC)*(vec(AM)-vec(AC))#

#=>vec(AB)*vec(CM)=-vec(AC)*vec(BC)-vec(AC)*vec(MB)-vec(BC)*vec(AM)+vec(BC)vec(AC)#

#=>vec(AB)*vec(CM)+vec(AC)*vec(MB)+vec(AM)*vec(BC) = 0#

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