How do you integrate #int x/sqrt(4x^2+4x+-24)dx# using trigonometric substitution?

Question

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Answer 1 · 2018-08-05T19:18:18

#I=1/2sqrt(x^2+x+-6)-1/4ln|x+1/2+sqrt(x^2+x+-6)|+C#

Without trigonometric substitution :

Here ,

#I=intx/sqrt(4x^2+4x+-24)dx#

#=1/2intx/sqrt(x^2+x+-6)dx#

#=1/4int(2x)/sqrt(x^2+x+-6)dx#

#=1/4int(2x+1-1)/sqrt(x^2+x+-6)dx#

#=1/4int(2x+1)/sqrt(x^2+x+-6)dx-1/4int1/sqrt(x^2+x+-6)dx#

#=1/4int(d(x^2+x+-6))/sqrt(x^2+x+-6)-1/4I_1#

#=1/4*2sqrt(x^2+x+-6)-1/4I_1#

#=1/2sqrt(x^2+x+-6)-1/4I_1.....................to(A)#

Now ,

#I_1=int1/sqrt(x^2+x+-6)dx#

Now ,

#(i)x^2+x+6=x^2+x+1/4+23/4=(x+1/2)^2+23/4#

#(ii)x^2+x-6=x^2+x+1/4-25/4=(x+1/2)^2-25/4#

So ,

#I_1=int1/sqrt((x+1/2)^2+K)dx# ,where ,#K=23/4 orK=-25/4#

#:.I_1=ln|(x+1/2)+sqrt((x+1/2)^2+K)|+c'#

#:.I_1=ln|(x+1/2)+sqrt(x^2+x+1/4+K)|+c'#

substitute #K=23/4 orK=-25/4#

#:.I_1=ln|x+1/2+sqrt(x^2+x+-6)|+c'#

From #(A)# we get

#I=1/2sqrt(x^2+x+-6)-1/4ln|x+1/2+sqrt(x^2+x+-6)|+C#

Note :

#color(red)(int(f'(x))/sqrt(f(x))dx=2sqrt(f(x))+c#

OR

#color(red)(int(d[f(x)])/sqrt(f(x))=2sqrt(f(x))+c#