# Question 3edee

Feb 26, 2018

$\text{Please see proofs below.}$

#### Explanation:

$\text{We are given:}$

 \qquad R \ = \ ZZ[ \sqrt{2} ]; \qquad \quad M \ = \ \{ a + b \sqrt{2} \in R \ | \quad 5 | a \quad "and" \quad 5 | b \}. 

$\text{i) We want to show:" \qquad M \ \ "is an ideal of} \setminus \setminus R .$

$\text{We proceed as follows. We need to show:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad p , q \setminus \in M \setminus \quad \text{and} \setminus \quad r , s \setminus \in R \setminus \quad \Rightarrow \setminus \quad r p + s q \setminus \in M .$

$\text{Suppose:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad p , q \setminus \in M \setminus \quad \text{and} \setminus \quad r , s \setminus \in R .$

$\text{So, by definition:}$

 p = 5 a + 5 b \sqrt{2}, \ q = 5 c + 5 d \sqrt{2}; \ r = f + g \sqrt{2}, \ s = h + k \sqrt{2}; 

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \text{where:} \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad a , b , c , d , f , g , h , k \setminus \in \mathbb{Z} .$

$\text{Now we compute:}$

$\setminus r p + s q \setminus = \setminus \left(f + g \setminus \sqrt{2}\right) \left(5 a + 5 b \setminus \sqrt{2}\right) + \left(h + k \setminus \sqrt{2}\right) \left(5 c + 5 d \setminus \sqrt{2}\right)$

$\setminus q \quad = \setminus \left(5 f a + 5 f b \setminus \sqrt{2} + 5 g a \setminus \sqrt{2} + 5 g b {\left(\setminus \sqrt{2}\right)}^{2}\right)$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad + \left(5 h c + 5 h d \setminus \sqrt{2} + 5 k c \setminus \sqrt{2} + 5 k d {\left(\setminus \sqrt{2}\right)}^{2}\right)$

$\setminus q \quad = \setminus \left(5 f a + 5 f b \setminus \sqrt{2} + 5 g a \setminus \sqrt{2} + 10 g b\right)$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad + \left(5 h c + 5 h d \setminus \sqrt{2} + 5 k c \setminus \sqrt{2} + 10 k d\right)$

$\setminus q \quad = \setminus \left(5 f a + 5 h c + 10 g b + 10 k d\right)$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad + \left(5 f b \setminus \sqrt{2} + 5 h d \setminus \sqrt{2} + 5 g a \setminus \sqrt{2} + 5 k c \setminus \sqrt{2}\right)$

$\setminus q \quad = \setminus 5 \left(f a + h c + 2 g b + 2 k d\right)$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad + 5 \left(f b + h d + g a + k c\right) \setminus \sqrt{2}$

 \qquad = \ 5 A + 5 B \sqrt{2}; \qquad "and" \quad A, B \in ZZ. 

$\text{So:}$

 \qquad \qquad \qquad \quad \ r p + s q \ = \ 5 A + 5 B \sqrt{2}; \qquad "and" \quad A, B \in ZZ. 

$\text{Thus, by definition of" \ M ":}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad r p + s q \setminus \in M .$

$\text{Thus:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad M \setminus \setminus \text{is an ideal of} \setminus \setminus R . \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \square$

$\text{ii) Here, we want to show:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad 5 \cancel{|} a \setminus q \quad \text{or} \setminus q \quad 5 \cancel{|} b \setminus \quad \Rightarrow \setminus \quad 5 \cancel{|} \left({a}^{2} + {b}^{2}\right) .$

$\text{We proceed as follows. What need to show is the same as}$
$\text{showing the following:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad 5 | \left({a}^{2} + {b}^{2}\right) \setminus \quad \Rightarrow \setminus \quad 5 | a \setminus \quad \text{and} \setminus \quad 5 | b .$

$\text{This statement is false !! Here is a counter-example:}$

 \quad \ \ 5 | 25 \quad rArr \quad 5|( 3^2 + 4^2 ); \qquad "but certainly" \quad \ 5 cancel{|} 3 \quad "and" \quad 5 cancel{|} 4. #