# Question e4eb5

Feb 15, 2018

$\setminus$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \text{Remainder is:} \setminus q \quad \setminus \quad - x .$

#### Explanation:

$\setminus$

$\text{Given:}$

$\text{1)} \setminus \setminus p \setminus \in P \left(\mathbb{R}\right) .$

$\text{2)" \ \ ( p(x) - 5 ) \ \ "is divisible by} \setminus \setminus \left(x + 5\right) .$

$\text{3)" \ \ ( p(x) + 5 ) \ \ "is divisible by} \setminus \setminus \left(x - 5\right) .$

$\text{Determine:}$

$\text{Remainder, when" \ \ p(x) \ \ "is divided by} \setminus \setminus \left({x}^{2} - 25\right) .$

$\setminus$

$\text{Analysis.}$

$\text{1)" \ \ ( p(x) - 5 ) \ \ "is divisible by} \setminus \setminus \left(x + 5\right) \setminus \Rightarrow$

 \qquad \qquad \ p(x) - 5 \ = \ ( x + 5 ) \cdot u(x); \qquad \quad "for some" \ \ u(x) \in P( RR ). 

$\text{2)" \ \ ( p(x) + 5 ) \ \ "is divisible by} \setminus \setminus \left(x - 5\right) \setminus \Rightarrow$

 \qquad \qquad \ p(x) + 5 \ = \ ( x - 5 ) \cdot v(x); \qquad \quad "for some" \ \ v(x) \in P( RR ). 

 "3) a) From (1):" \qquad \ p(x) = ( x + 5 ) \cdot u(x) + 5; \quad \quad \ \ u(x) \in P( RR ). 

 \quad \quad "b) From (2):" \qquad \ p(x) = ( x - 5 ) \cdot v(x) - 5; \quad \quad \ \ v(x) \in P( RR ). 

$\text{4) Consider the division of" \ \ p(x) \ \ "by" \ \ ( x^2 - 25 ); \ \ "resulting in a" \ "quotient," \ \ q(x), \ "and a remainder," \ \ r(x). "We write:}$

 \ p(x) \ = \ q(x) ( x^2 - 25 ) + r(x); \quad "for some" \ \ q(x), r(x) \in P( RR ), 

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \text{where:" \ \ "deg" \ r(x) <= "deg" \ ( x^2 - 25 ) \quad "or} \setminus \quad r \left(x\right) = 0.$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \text{i.e.:" \qquad \qquad \qquad \quad "deg" \ r(x) <= 2 \qquad "or} \setminus q \quad r \left(x\right) = 0.$

 \qquad \qquad \qquad :. \qquad \qquad \qquad \qquad r(x) \ = \ a x + b ; \qquad \qquad \quad "for some" \ \ a, b \in RR. 

$\setminus q \quad \setminus \text{We seek to find the remainder:} \setminus q \quad \setminus \quad \setminus r \left(x\right) .$

$\text{5) Substitute" \ \ r(x) \ \ "into the first equation in (4):}$

 \ p(x) \ = \ q(x) ( x^2 - 25 ) + a x + b; \qquad \quad "for some" \ \ a, b \in RR. \qquad \ (1) #

$\text{6) a) Substitute" \ \ x = 5 \ \ "into eqn. (1) above:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad p \left(5\right) \setminus = \setminus \textcolor{red}{\cancel{q \left(5\right) \left({5}^{2} - 25\right)}} + a \left(5\right) + b$

$\therefore \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad p \left(5\right) \setminus = \setminus 5 a + b .$

$\setminus q \quad \text{b) Now substitute" \ \ x = -5 \ \ "into eqn. (1) above:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus p \left(- 5\right) \setminus = \setminus \textcolor{red}{\cancel{q \left(- 5\right) \left({\left(- 5\right)}^{2} - 25\right)}} + a \left(- 5\right) + b$

$\therefore \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus p \left(- 5\right) \setminus = - 5 a + b .$

$\setminus q \quad \text{c) Collecting the two results from (6a) and (6b) together:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus p \left(5\right) \setminus = \setminus 5 a + b .$
$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \left(2\right)$
$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \setminus p \left(- 5\right) \setminus = - 5 a + b .$

$\text{7) a) Substituting:" \qquad x = -5 \qquad "into (3a):}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad p \left(- 5\right) = \setminus \textcolor{red}{\cancel{\left(- 5 + 5\right) \setminus \cdot u \left(- 5\right)}} + 5 = 5.$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \therefore \setminus q \quad \setminus q \quad p \left(- 5\right) = 5.$

$\setminus q \quad \text{b) Substituting:" \qquad x = 5 \qquad "into (3b):}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad p \left(5\right) = \setminus \textcolor{red}{\cancel{\left(5 - 5\right) \setminus \cdot v \left(5\right)}} - 5 = - 5.$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \therefore \setminus q \quad \setminus q \quad p \left(5\right) = - 5.$

$\setminus q \quad \text{c) Collecting the two results from (7a) and (7b) together:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad p \left(- 5\right) = 5.$
$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad p \left(5\right) = - 5.$

$\setminus q \quad \text{d) Substituting the two results from (7c) into the two results}$
$\text{in (6c), we find:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad - 5 \setminus = \setminus 5 a + b .$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus 5 \setminus = \setminus - 5 a + b .$

$\setminus q \quad \text{e) Solving the" \ \ 2 xx 2 \ \ "system in (7c) above, we find easily:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \setminus \setminus a \setminus = \setminus - 1 , \setminus q \quad \setminus \quad b \setminus = \setminus 0.$

$\setminus q \quad \text{f) Substituting the values of the two constants in (7e) into the}$
$\text{expression for" \ \ r(x) \ \ "at the bottom of (4) above, we obtain:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \setminus r \left(x\right) \setminus = \setminus a x + b \setminus = \setminus \left(- 1\right) x + 0 \setminus = \setminus - x .$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \text{Thus:} \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad r \left(x\right) \setminus = \setminus - x .$

$\text{This is the result we sought -- recalling from (4), that" \ \ r(x) \ \ "is the remainder, when" \ \ p(x) \ \ "is divided by} \setminus \setminus \left({x}^{2} - 25\right) .$

$\setminus$

$\text{Hence, summarizing, we have:}$

$\text{Remainder, when" \ \ p(x) \ \ "is divided by" \ \ ( x^2 - 25 ), \ \ "is:} \setminus \quad - x .$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \square$