# A function f(x) is defined by f(x)=x+1,when x less than equal to 1 and f(x)=3-ax^2, when x>1.If f(x) is continuous at point x=1. Then what will be the value of a?

##### 1 Answer
Feb 21, 2018

$\text{The answer is:} \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad a \setminus = \setminus 1.$

#### Explanation:

$\text{Let's look at the value of" \ \ f(x) \ \"at" \ \ x = 1, "and the left- and}$
$\text{right-sided limits as} \setminus \quad x \rightarrow 1.$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad f \left(x\right) \setminus \text{will be continuous at} \setminus x = 1 \setminus \quad \Leftrightarrow \setminus \quad$

$f \left(1\right) , \setminus \quad \setminus {\lim}_{x \rightarrow {1}^{-}} f \left(x\right) , \setminus \quad \setminus {\lim}_{x \rightarrow {1}^{+}} f \left(x\right) \setminus q \quad \text{all exist, and are all equal}$
$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \text{to each other.}$

$\text{By the construction of the function, we have:}$

$\text{a)} \setminus q \quad \setminus q \quad f \left(1\right) \setminus = \setminus 1 + 1 \setminus = \setminus 2.$

$\therefore \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad f \left(1\right) \setminus = \setminus 2. \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \left(1\right)$

$\text{b)} \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus {\lim}_{x \rightarrow {1}^{-}} f \left(x\right) \setminus = \setminus \setminus {\lim}_{x \rightarrow {1}^{-}} x + 1 \setminus = \setminus 1 + 1 \setminus = \setminus \setminus 2.$

$\therefore \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus {\lim}_{x \rightarrow {1}^{-}} f \left(x\right) \setminus = \setminus 2. \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \left(2\right)$

$\text{c)} \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus {\lim}_{x \rightarrow {1}^{+}} f \left(x\right) \setminus = \setminus \setminus {\lim}_{x \rightarrow {1}^{+}} 3 - a {x}^{2} \setminus = \setminus 3 - \left(a \cdot {1}^{2}\right) \setminus = \setminus 3 - a .$

$\therefore \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus {\lim}_{x \rightarrow {1}^{+}} f \left(x\right) \setminus = \setminus 3 - a . \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \left(3\right)$

$\text{Thus:" \qquad \qquad \qquad f(1), \quad \lim_{x rarr 1^-} f(x), \quad \lim_{x rarr 1^+} f(x) \qquad \qquad "all exist.}$

$\text{So:" \qquad \quad f(x) \ \ "will now be continuous at" \ \x = 1, "precisely when}$
$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \text{all these 3 quantities are equal:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad f \left(1\right) \setminus = \setminus \setminus {\lim}_{x \rightarrow {1}^{-}} f \left(x\right) \setminus = \setminus \setminus {\lim}_{x \rightarrow {1}^{+}} f \left(x\right) .$

$\text{Using our results from eqns. (1), (2), (3) above, this becomes:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \quad 2 \setminus = \setminus 2 \setminus = \setminus 3 - a .$

$\text{This is the same as just:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \quad 2 \setminus = \setminus 3 - a .$

$\text{Solving:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad 3 - a \setminus = \setminus 2 .$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad 3 \setminus = \setminus a + 2.$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus 1 \setminus = \setminus a$

$\therefore \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \setminus a \setminus = \setminus 1.$

$\text{This is our answer.}$