# Could someone help to solve d/dx(ln(e^x(x-1/x+1)^3/2)=?

Feb 24, 2018

$\frac{d}{\mathrm{dx}} \left(\ln \left({e}^{x} {\left(x - \frac{1}{x} + 1\right)}^{\frac{3}{2}}\right)\right) = 1 + \frac{3 \left(2 x + 1\right)}{2 \left({x}^{2} + x - 1\right)} - \frac{3}{2 x}$

#### Explanation:

$\ln \left({e}^{x} {\left(x - \frac{1}{x} + 1\right)}^{\frac{3}{2}}\right)$

= $\ln {e}^{x} + \frac{3}{2} \ln \left(x - \frac{1}{x} + 1\right)$

= $x + \frac{3}{2} \ln \left(\frac{{x}^{2} - 1 + x}{x}\right)$

= $x + \frac{3}{2} \ln \left({x}^{2} + x - 1\right) - \frac{3}{2} \ln x$

Hence $\frac{d}{\mathrm{dx}} \left(\ln \left({e}^{x} {\left(x - \frac{1}{x} + 1\right)}^{\frac{3}{2}}\right)\right)$

= $\frac{d}{\mathrm{dx}} \left(x + \frac{3}{2} \ln \left({x}^{2} + x - 1\right) - \frac{3}{2} \ln x\right)$

= $1 + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2} + x - 1} \cdot \left(2 x + 1\right) - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $1 + \frac{3 \left(2 x + 1\right)}{2 \left({x}^{2} + x - 1\right)} - \frac{3}{2 x}$

Feb 24, 2018

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad f ' \left(x\right) \setminus = \setminus \frac{2 {x}^{3} + 5 {x}^{2} - 2 x + 3}{2 x \left({x}^{2} + x - 1\right)} .$

#### Explanation:

$\text{One way to do this conveniently is by using properties of}$
$\text{logarithms.}$

$\text{We want to compute:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \frac{d}{\mathrm{dx}} \ln \left({e}^{x} {\left(x - \frac{1}{x} + 1\right)}^{\frac{3}{2}}\right) .$

$\text{Let me take the function in question, by itself, first:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad f \left(x\right) \setminus = \setminus \ln \left({e}^{x} {\left(x - \frac{1}{x} + 1\right)}^{\frac{3}{2}}\right) .$

$\text{Using fundamental properties of logarithms, we can}$
$\text{simplify" \ \ f(x) \ \ "greatly:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad f \left(x\right) \setminus = \setminus \ln \left({e}^{x} {\left(x - \frac{1}{x} + 1\right)}^{\frac{3}{2}}\right)$

 \quad = \ ln( e^x ) + ln( x - 1/x + 1)^{3/2}; \qquad \ \ ln( A cdot B ) = ln(A) + ln(B)

 \quad = \ x ln( e ) + 3/2 ln( x - 1/x + 1); \quad \ ln( A^r ) = r ln(A)

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus = \setminus x \ln \left(e\right) + \frac{3}{2} \ln \left(x - \frac{1}{x} + 1\right)$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus = \setminus x \cdot 1 + \frac{3}{2} \ln \left(x - \frac{1}{x} + 1\right)$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus = \setminus x + \frac{3}{2} \ln \left(x - \frac{1}{x} + 1\right) .$

$\text{So:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad f \left(x\right) \setminus = \setminus x + \frac{3}{2} \ln \left(x - \frac{1}{x} + 1\right) .$

$\text{Now, finding the derivative is easy [except for simplification !!]:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad f ' \left(x\right) \setminus = \setminus \left[x\right] ' + \left[\frac{3}{2} \ln \left(x - \frac{1}{x} + 1\right)\right] '$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus 1 + \frac{3}{2} \left[\ln \left(x - \frac{1}{x} + 1\right)\right] '$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus 1 + \frac{3}{2} \left[\frac{1}{x - \frac{1}{x} + 1} \left(x - \frac{1}{x} + 1\right) '\right]$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus 1 + \frac{3}{2} \left[\frac{1}{x - \frac{1}{x} + 1} \left(\left[x\right] ' - \left[\frac{1}{x}\right] + 0\right)\right]$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus 1 + \frac{3}{2} \left[\frac{1}{x - \frac{1}{x} + 1} \left(1 - \left[{x}^{- 1}\right] ' + 0\right)\right]$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus 1 + \frac{3}{2} \left[\frac{1}{x - \frac{1}{x} + 1} \left(1 - \left[\left(- 1\right) {x}^{- 2}\right]\right)\right]$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \text{now simplify:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus 1 + \frac{3}{2} \left[\frac{1}{x - \frac{1}{x} + 1} \left(1 - \left[\frac{- 1}{x} ^ \left\{2\right\}\right]\right)\right]$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus 1 + \frac{3}{2} \left[\frac{1}{x - \frac{1}{x} + 1} \left(1 + \frac{1}{x} ^ \left\{2\right\}\right)\right]$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus 1 + \frac{3}{2} \left[\left(\frac{1}{x - \frac{1}{x} + 1} \cdot \frac{x}{x}\right) \left({x}^{2} / {x}^{2} + \frac{1}{x} ^ \left\{2\right\}\right)\right]$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus 1 + \frac{3}{2} \left[\left(\frac{\textcolor{red}{\cancel{x}}}{{x}^{2} - 1 + x}\right) \left(\frac{{x}^{2} + 1}{x} ^ \left\{\textcolor{red}{\cancel{2}}\right\}\right)\right]$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus 1 + \frac{3}{2} \left[\left(\frac{1}{{x}^{2} - 1 + x}\right) \left(\frac{{x}^{2} + 1}{x}\right)\right]$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus 1 + \frac{3}{2} \left[\frac{{x}^{2} + 1}{x \left({x}^{2} + x - 1\right)}\right]$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus 1 + \frac{3 \left({x}^{2} + 1\right)}{2 x \left({x}^{2} + x - 1\right)}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus \frac{2 x \left({x}^{2} + x - 1\right)}{2 x \left({x}^{2} + x - 1\right)} + \frac{3 \left({x}^{2} + 1\right)}{2 x \left({x}^{2} + x - 1\right)}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus \frac{2 x \left({x}^{2} + x - 1\right) + 3 \left({x}^{2} + 1\right)}{2 x \left({x}^{2} + x - 1\right)}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus \frac{2 {x}^{3} + 2 {x}^{2} - 2 x + 3 {x}^{2} + 3}{2 x \left({x}^{2} + x - 1\right)}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus \frac{2 {x}^{3} + 5 {x}^{2} - 2 x + 3}{2 x \left({x}^{2} + x - 1\right)} .$

$\text{Sorry for all the work -- the calculus part was shorter,}$
$\text{the simplication long (not uncommon) !!}$

$\text{Summarizing:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad f \left(x\right) \setminus = \setminus \ln \left({e}^{x} {\left(x - \frac{1}{x} + 1\right)}^{\frac{3}{2}}\right) .$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad f ' \left(x\right) \setminus = \setminus \frac{2 {x}^{3} + 5 {x}^{2} - 2 x + 3}{2 x \left({x}^{2} + x - 1\right)} .$