# For what values of x is f(x)=(x^2−x)/e^x concave or convex?

Feb 23, 2018

 \qquad \qquad \ "graph of" \ \ f(x) \quad "concave up on": \qquad \ ( - infty, 1 ), \quad ( 4, infty);

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \text{graph of" \ \ f(x) \quad "concave down on} : \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \left(1 , 4\right) .$

#### Explanation:

$\text{We will need to find where" \ \ f''(x) \ \ "is positive, and where it}$
$\text{is negative.}$

$\text{Recalling the basic theory on concavity, we have:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad f ' ' \left(x\right) > 0 \setminus \quad \Rightarrow \setminus \quad \text{the graph of" \ f(x) \ "is concave up.}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad f ' ' \left(x\right) < 0 \setminus \quad \Rightarrow \setminus \quad \text{the graph of" \ f(x) \ "is concave down.}$

$\text{[I apologize, I don't know the language of concave/convex with}$
$\text{respect to the concavity of a curve. The language I am}$
$\text{familiar with is (concave up)/(concave down). I hope what I}$
$\text{can provide to you helps !!]}$

$\text{Ok, so let's compute" \ \ f''(x). "We start with:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad f \left(x\right) \setminus = \setminus \frac{{x}^{2} - x}{e} ^ x .$

$\text{We can rewrite this a little, to prepare it for differentiation --}$
$\text{will help a lot ! :}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus f \left(x\right) \setminus = \setminus \left({x}^{2} - x\right) {e}^{-} x .$

$\text{We have avoided the Quotient Rule !! So, continuing:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad f ' \left(x\right) \setminus = \setminus \left({x}^{2} - x\right) \left[{e}^{-} x\right] ' + \left[{x}^{2} - x\right] ' {e}^{-} x$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad = \setminus \left({x}^{2} - x\right) {e}^{-} x \left[- x\right] ' + \left(2 x - 1\right) {e}^{-} x$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad = \setminus \left({x}^{2} - x\right) {e}^{-} x \left(- 1\right) + \left(2 x - 1\right) {e}^{-} x$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad = \setminus \left[\left({x}^{2} - x\right) \left(- 1\right) + \left(2 x - 1\right)\right] {e}^{-} x$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad = \setminus \left[- {x}^{2} + x + 2 x - 1\right] {e}^{-} x$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad = \setminus \left(- {x}^{2} + 3 x - 1\right) {e}^{-} x .$

$\text{Thus:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad f ' \left(x\right) \setminus = \setminus \left(- {x}^{2} + 3 x - 1\right) {e}^{-} x .$

$\text{So, onward to} \setminus \setminus f ' ' \left(x\right) :$

$\setminus \quad f ' ' \left(x\right) \setminus = \setminus \left(- {x}^{2} + 3 x - 1\right) \left[{e}^{-} x\right] ' + \left[- {x}^{2} + 3 x - 1\right] ' {e}^{-} x$

$\setminus q \quad \setminus \quad \setminus \setminus \setminus \setminus = \setminus \left(- {x}^{2} + 3 x - 1\right) {e}^{-} x \left[- x\right] ' + \left(- 2 x + 3\right) {e}^{-} x$

$\setminus q \quad \setminus \quad \setminus \setminus \setminus \setminus = \setminus \left(- {x}^{2} + 3 x - 1\right) {e}^{-} x \left(- 1\right) + \left(- 2 x + 3\right) {e}^{-} x$

$\setminus q \quad \setminus \quad \setminus \setminus \setminus \setminus = \setminus \left[\left(- {x}^{2} + 3 x - 1\right) \left(- 1\right) + \left(- 2 x + 3\right)\right] {e}^{-} x$

$\setminus q \quad \setminus \quad \setminus \setminus \setminus \setminus = \setminus \left[{x}^{2} - 3 x + 1 - 2 x + 3\right] {e}^{-} x$

$\setminus q \quad \setminus \quad \setminus \setminus \setminus \setminus = \setminus \left({x}^{2} - 5 x + 4\right) {e}^{-} x .$

$\text{Thus:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad f ' ' \left(x\right) \setminus = \setminus \left({x}^{2} - 5 x + 4\right) {e}^{-} x .$

$\text{Now we need find where" \ \ f''(x) \ \ "is positive, and where it}$
$\text{is negative. So we need to solve:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad f ' ' \left(x\right) > 0 \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \text{and} \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad f ' ' \left(x\right) < 0$

$\setminus q \quad \left({x}^{2} - 5 x + 4\right) {e}^{-} x > 0 \setminus q \quad \setminus q \quad \text{and} \setminus q \quad \setminus q \quad \left({x}^{2} - 5 x + 4\right) {e}^{-} x < 0.$

$\text{The inequalities above can be solved by the method of test}$
$\text{points:}$

$\text{Solve:} \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \setminus \left({x}^{2} - 5 x + 4\right) {e}^{-} x = 0.$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \quad \setminus \setminus \setminus \left[\left({x}^{2} - 5 x + 4\right) {e}^{-} x\right] \cdot {e}^{+ x} = \left[0\right] \cdot {e}^{+ x}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \setminus \left({x}^{2} - 5 x + 4\right) \left({e}^{-} x \cdot {e}^{+ x}\right) = 0$

 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \ ( x^2 - 5 x + 4 ) cdot 1 = 0

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus {x}^{2} - 5 x + 4 = 0$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \setminus \left(x - 1\right) \left(x - 4\right) = 0$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \setminus x = 1 , 4.$

$\text{Intervals to Test:} \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \setminus \left(- \infty , 1\right) , \setminus \quad \left(1 , 4\right) , \setminus \quad \left(4 , \infty\right) .$

$\text{Results of Test:" \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad "+", \qquad \qquad \quad -, \qquad \quad \quad "+} .$

$\text{Results for Inequalities:}$

 \qquad \qquad \qquad \qquad f''(x) > 0 \quad "on": \qquad \ ( - infty, 1 ), \quad ( 4, infty);

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad f ' ' \left(x\right) < 0 \setminus \quad \text{on} : \setminus q \quad \setminus \left(1 , 4\right) .$

$\text{Results for Graph of} \setminus \setminus f \left(x\right) :$

 \qquad \qquad \ "graph of" \ \ f(x) \quad "concave up on": \qquad \ ( - infty, 1 ), \quad ( 4, infty);

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \text{graph of" \ \ f(x) \quad "concave down on} : \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \left(1 , 4\right) .$

$\text{These are our desired results.}$

$\text{Summarizing:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad f \left(x\right) \setminus = \setminus \frac{{x}^{2} - x}{e} ^ x .$

 \qquad \qquad \ "graph of" \ \ f(x) \quad "concave up on": \qquad \ ( - infty, 1 ), \quad ( 4, infty);

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \text{graph of" \ \ f(x) \quad "concave down on} : \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \left(1 , 4\right) .$