# How do I simplify this equation? I have been trying to solve it but every time i would get a wrong answer

## a. Use an addition or subtraction formula to simplify the equation: $\sin \theta \cos 3 \theta + \cos \theta \sin 3 \theta = 0$ b. Find all solutions in the interval [0,2pi). (enter answer using a comma-separated list)

Feb 9, 2018

$\left\{0 , \frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{2} , 3 \frac{\pi}{4} , \pi , 5 \frac{\pi}{4} , 3 \frac{\pi}{2} , 7 \frac{\pi}{4}\right\}$.

#### Explanation:

$\sin 3 \theta \cos \theta + \cos 3 \theta \sin \theta = \sin \left(3 \theta + \theta\right) = \sin 4 \theta$.

$\therefore \sin 3 \theta \cos \theta + \cos 3 \theta \sin \theta = 0$,

$\Rightarrow \sin 4 \theta = 0$.

$\Rightarrow 4 \theta = k \pi , k \in \mathbb{Z}$.

$\Rightarrow \theta = k \frac{\pi}{4} , k \in \mathbb{Z}$.

The Solution set $\subset \left[0 , 2 \pi\right)$ is given by,

$\left\{0 , \frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{2} , 3 \frac{\pi}{4} , \pi , 5 \frac{\pi}{4} , 3 \frac{\pi}{2} , 7 \frac{\pi}{4}\right\}$.

Feb 9, 2018

$\setminus m b \otimes \left\{S o l u t i o n s\right. \setminus \quad \setminus \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \theta \setminus = 0 , \setminus \frac{\pi}{4} , \setminus \frac{\pi}{2} , \frac{3 \setminus \pi}{4} , \setminus \pi , \frac{5 \setminus \pi}{4} , \frac{3 \setminus \pi}{2} , \frac{7 \setminus \pi}{4.}$

#### Explanation:

$\setminus$

$\setminus m b \otimes \left\{T h e e q u a t i o n c a n b e s i m p l \mathmr{if} i e d u \sin g t h e a \mathrm{dd} i t i o n f \mathmr{and} \mu l a f \mathmr{and}\right\} \setminus \setminus \setminus m b \otimes \left\{t h e \sin e f u n c t i o n . S e e b e l o w .\right\}$

$\setminus m b \otimes \left\{G i v e n e q u a t i o n\right. \setminus q \quad \sin \setminus \theta \cos 3 \setminus \theta + \cos \setminus \theta \sin 3 \setminus \theta \setminus = \setminus 0.$

$\setminus m b \otimes \left\{A \mathrm{dd} i t i o n f \mathmr{and} \mu l a f \mathmr{and} \sin e\right.$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \sin \left(x + y\right) \setminus = \setminus \sin x \cos y + \cos x \sin y .$

$\setminus m b \otimes \left\{I n r e v e r s e\right.$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \sin x \cos y + \cos x \sin y \setminus = \setminus \sin \left(x + y\right) .$

$\setminus m b \otimes \left\{S o w e c a n r e w r i t e t h e L H S o f t h e g i v e n e q u a t i o n a s\right.$

$\setminus q \quad \sin \setminus \theta \cos 3 \setminus \theta + \cos \setminus \theta \sin 3 \setminus \theta \setminus = \setminus \sin \left(\setminus \theta + 3 \setminus \theta\right) \setminus = \setminus \sin \left(4 \setminus \theta\right) .$

$\setminus m b \otimes \left\{S u b s t i t u t \in g b a c k \int o t h e L H S o f t h e g i v e n e q u a t i o n\right.$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \sin \left(4 \setminus \theta\right) \setminus = \setminus 0.$

$\setminus m b \otimes \left\{T h i s i s e a s i l y s o l v e d n o w\right.$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \sin \left(4 \setminus \theta\right) \setminus = \setminus 0.$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad 4 \setminus \theta \setminus = \setminus k \setminus \pi , \setminus q \quad k \setminus \setminus \setminus m b \otimes \left\{a n y \int e \ge r\right\} .$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \theta \setminus = \setminus k \setminus \frac{\pi}{4} , \setminus q \quad k \setminus \setminus \setminus m b \otimes \left\{a n y \int e \ge r\right\} . \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \left(1\right)$

$\setminus m b \otimes \left\{W e w a n t \left(r e s t r i c t i o n o n\right\} \setminus \setminus \theta \setminus m b \otimes \left.\right)\right\} \setminus q \quad \setminus q \quad 0 \le \setminus \theta < 2 \setminus \pi .$

$\setminus m b \otimes \left\{T h u s\right. \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad 0 \le k \setminus \frac{\pi}{4} < 2 \setminus \pi , \setminus q \quad \setminus q \quad k \setminus \setminus \setminus m b \otimes \left\{a n y \int e \ge r\right\} .$

$\setminus m b \otimes \left\{A s\right\} \setminus \setminus \frac{4}{\setminus} \pi > 0 : \setminus q \quad \setminus \quad \frac{4}{\setminus} \pi \setminus \cdot 0 \le \frac{4}{\setminus} \pi \setminus \cdot k \setminus \frac{\pi}{4} < \frac{4}{\setminus} \pi \setminus \cdot 2 \setminus \pi , \setminus q \quad \setminus q \quad k \setminus \setminus \setminus m b \otimes \left\{a n y \int e \ge r\right\} .$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad 0 \le \setminus \textcolor{red}{\cancel{\frac{4}{\setminus} \pi}} \setminus \cdot k \setminus \textcolor{red}{\cancel{\setminus \frac{\pi}{4}}} < \frac{4}{\setminus} \textcolor{red}{\cancel{\setminus \pi}} \setminus \cdot 2 \setminus \textcolor{red}{\cancel{\setminus \pi}} , \setminus q \quad \setminus \quad \setminus k \setminus \setminus \setminus m b \otimes \left\{a n y \int e \ge r\right\} .$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad 0 \le k < 8 , \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad k \setminus \setminus \setminus m b \otimes \left\{a n y \int e \ge r\right\} .$

$\setminus q \quad \setminus \quad \setminus \therefore \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7.$

 \quad \ :. \quad \mbox{(by eqn. (1))} \qquad \quad \theta \ = \ k \pi/4; \qquad k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

$\setminus \quad \setminus \therefore \setminus \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \theta \setminus = 0 , \setminus \frac{\pi}{4} , 2 \setminus \frac{\pi}{4} , 3 \setminus \frac{\pi}{4} , 4 \setminus \frac{\pi}{4} , 5 \setminus \frac{\pi}{4} , 6 \setminus \frac{\pi}{4} , 7 \setminus \frac{\pi}{4.}$

$\setminus m b \otimes \left\{A n d f \in a l l y \ldots\right\}$

$\setminus \quad \setminus \therefore \setminus \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \theta \setminus = 0 , \setminus \frac{\pi}{4} , \setminus \frac{\pi}{2} , \frac{3 \setminus \pi}{4} , \setminus \pi , \frac{5 \setminus \pi}{4} , \frac{3 \setminus \pi}{2} , \frac{7 \setminus \pi}{4.}$

$\setminus$

$\setminus m b \otimes \left\{S u m m a r y\right.$

 \mbox{Equation:} \qquad \quad sin \theta cos 3\theta + cos \theta sin 3\theta \ = \ 0; \quad \theta \in [0, 2\pi].

$\setminus m b \otimes \left\{S o l u t i o n s\right. \setminus \quad \setminus \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \theta \setminus = 0 , \setminus \frac{\pi}{4} , \setminus \frac{\pi}{2} , \frac{3 \setminus \pi}{4} , \setminus \pi , \frac{5 \setminus \pi}{4} , \frac{3 \setminus \pi}{2} , \frac{7 \setminus \pi}{4.}$