# How do you find the second derivative of ln(x^3)?

##### 1 Answer
Mar 2, 2018

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \text{second derivative} \setminus = \setminus - \frac{3}{x} ^ 2 \setminus \quad .$

#### Explanation:

$\text{We can start by rewriting the function, using Rules of}$
$\text{Logarithms, to prepare it for differentiation:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad f \left(x\right) \setminus = \setminus \ln \left({x}^{3}\right)$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad f \left(x\right) \setminus = \setminus 3 \ln \left(x\right) \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \textcolor{b l u e}{\text{Power Rule for Logs}}$

$\text{Now differentiation is much easier !!}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad f ' \left(x\right) \setminus = \setminus 3 \left[\setminus \ln \left(x\right) \setminus\right] '$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad f ' \left(x\right) \setminus = \setminus 3 \cdot \frac{1}{x}$

$\text{Continue, writing" \ f'(x) \ "to prepare it for differentiation:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad f ' \left(x\right) \setminus = \setminus 3 {x}^{- 1} .$

$\text{Now differentiation is much easier -- no Quotient Rule needed !!}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad f ' ' \left(x\right) \setminus = \setminus 3 \left[{x}^{- 1}\right] ' .$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad f ' ' \left(x\right) \setminus = \setminus 3 \left[\left(- 1\right) {x}^{- 2}\right] \setminus = \setminus - 3 {x}^{- 2} .$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad f ' ' \left(x\right) \setminus = \setminus - 3 \cdot \frac{1}{x} ^ 2 \setminus = \setminus - \frac{3}{x} ^ 2 .$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \therefore \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus f ' ' \left(x\right) \setminus = \setminus - \frac{3}{x} ^ 2 .$

$\text{This is our answer.}$

$\text{Summarizing:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad f \left(x\right) \setminus = \setminus \ln \left({x}^{3}\right) \setminus q \quad \Rightarrow \setminus q \quad f ' ' \left(x\right) \setminus = \setminus - \frac{3}{x} ^ 2 \quad .$