# How do you find the sum of the finite geometric sequence of Sigma 8(-1/4)^(i-1) from i=0 to 10?

Feb 11, 2018

$\setminus$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad {\sum}_{i = 0}^{10} 8 {\left(- \frac{1}{4}\right)}^{i - 1} \setminus = \setminus - \frac{209715}{8192} .$

#### Explanation:

$\setminus$

$\text{Let's recall the general formula for the sum of a finite geometric}$
$\text{series:}$

 sum_{i=0}^{n} a r^n \ = \ { a ( 1 - r^n ) } / (1 - r ); \qquad \quad "first term" = 1, \ "common ratio" = r.

$\text{In order to apply this to our example, let's rewrite the original:}$

$\text{Given:}$

${\sum}_{i = 0}^{10} 8 {\left(- \frac{1}{4}\right)}^{i - 1} \setminus = \setminus 8 \setminus {\sum}_{i = 0}^{10} {\left(- \frac{1}{4}\right)}^{i - 1}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus = \setminus 8 \setminus {\sum}_{i = 0}^{10} {\left(- \frac{1}{4}\right)}^{- 1} {\left(- \frac{1}{4}\right)}^{i}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus = \setminus 8 {\left(- \frac{1}{4}\right)}^{- 1} \setminus {\sum}_{i = 0}^{10} {\left(- \frac{1}{4}\right)}^{i}$

$\text{Applying the general formula above to the latter sum, we note}$
$\text{that we should let:" \qquad n = 10, a = 1, r = (- 1/4).}$
$\text{And now, continuing, we substitute these into that formula,}$
$\text{and then simplify afterward:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus = \setminus 8 {\left(- \frac{1}{4}\right)}^{- 1} \setminus \cdot \frac{1 \setminus \cdot \left(1 - {\left(- \frac{1}{4}\right)}^{10}\right)}{1 - \left(- \frac{1}{4}\right)}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus = \setminus 8 \left(- 4\right) \setminus \frac{\left(1 - {\left(- \frac{1}{4}\right)}^{10}\right)}{1 - \left(- \frac{1}{4}\right)}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus = \setminus 8 \left(- 4\right) \setminus \frac{\left(1 - {\left(- \frac{1}{4}\right)}^{10}\right)}{1 - \left(- \frac{1}{4}\right)} \setminus \cdot \frac{{\left(- 4\right)}^{10}}{{\left(- 4\right)}^{10}}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus = \setminus - 32 \setminus \frac{\left({\left(- 4\right)}^{10} - {\left(1\right)}^{10}\right)}{{\left(- 4\right)}^{10} - {\left(- 4\right)}^{9}}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus = \setminus - 32 \setminus \frac{{\left(- 4\right)}^{10} - 1}{{\left(- 4\right)}^{10} - {\left(- 4\right)}^{9}}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus = \setminus - 32 \setminus \frac{{4}^{10} - 1}{{4}^{10} - \left(- {4}^{9}\right)}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus = \setminus - 32 \setminus \frac{{4}^{10} - 1}{{4}^{10} + {4}^{9}}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus = \setminus - {2}^{5} \setminus \frac{{\left({2}^{2}\right)}^{10} - 1}{{\left({2}^{2}\right)}^{10} + {\left({2}^{2}\right)}^{9}}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus = \setminus - {2}^{5} \setminus \frac{{2}^{20} - 1}{{2}^{20} + {2}^{18}}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus = \setminus - \setminus \textcolor{red}{\cancel{{2}^{5}}} \setminus \frac{{2}^{20} - 1}{\setminus \textcolor{red}{\cancel{{2}^{5}}} \left({2}^{15} + {2}^{13}\right)}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus = \setminus - \frac{{2}^{20} - 1}{\left({2}^{15} + {2}^{13}\right)}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus = \setminus - \frac{{2}^{20} - 1}{{2}^{13} \left({2}^{2} + 1\right)}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus = \setminus - \frac{{2}^{20} - 1}{5 \setminus \cdot {2}^{13}}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus = \setminus - \frac{1048576 - 1}{5 \setminus \cdot 8192}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus = \setminus - \frac{1048575}{5 \setminus \cdot 8192}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus = \setminus - \frac{209715}{8192} .$

$\setminus$

$\text{Thus:} \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad {\sum}_{i = 0}^{10} 8 {\left(- \frac{1}{4}\right)}^{i - 1} \setminus = \setminus - \frac{209715}{8192} .$

$\setminus$

$\text{My sincerest apologies for all the machinations in the}$
$\text{simplification. It's not really that bad, if you look at it.}$
$\text{I had no idea it would be so long !! Sorry again !}$