#2tan(2A)xx2[cos^2 (2A)-sin^2 (4A)]=sin(8A)#
LHS=left hand side and RHS=right hand side. So I start with the left hand side and show that it equals the right hand side.
#LHS=2tan(2A)xx[2cos^2 (2A)-2sin^2 (4A)]#
#=4tan(2A)cos^2 (2A)-4tan2Asin^2 (4A)#
#=4(sin(2A))/cos(2A) cos^2(2A)-4(sin(2A))/cos(2A) sin^2 (4A)#
#=4sin(2A)cos(2A)-4(sin(2A))/cos(2A) sin^2(2(2A))#
#=2*2sin(2A)cos(2A)-4(sin(2A))/cos(2A) xx2sin^2(2A)cos^2(2A)#
#=2sin(2(2A))-4(sin(2A)) xx2sin^2(2A)cos(2A)#
#=2sin(4A)-4*2sin(2A)cos(2A) xxsin^2(2A)#
#=2sin(4A)-4sin(4A)sin^2(2A)#
#=2sin(4A)[1-2sin^2(2A)]#
#=2sin(4A)cos2(2A)#
#=2sin(4A)cos(4A)#
#=sin(2(4A))#
#=sin(8A)#
#=RHS#