# If f(x)=(4x+5)/(5x+6), how do you find f'(x)?

## Do I use the quotient rule?

Mar 6, 2018

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad f ' \left(x\right) \setminus = \setminus - \frac{1}{5 x + 6} ^ \left\{2\right\} \setminus \quad .$

#### Explanation:

$\text{One way to do this, of course, is the Quotient Rule.}$

$\text{Here, I'll show a way that avoids this.}$

$\text{This method can be used in other situations, too, sometimes to}$
$\text{great advantage.}$

$\text{We have:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad f \left(x\right) \setminus = \setminus \frac{4 x + 5}{5 x + 6} \setminus \quad .$

$\text{Rewrite. Note, here I am showing every step in the rewrite, to}$
$\text{illustrate it. In practice, there are only 3-4 lines to it. Then,}$
$\text{the derivative can be done almost on sight. Don't let the}$
$\text{fractions bother you. Rewriting:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad f \left(x\right) \setminus = \setminus \frac{\frac{4}{5} \left(5 x + \frac{25}{4}\right)}{5 x + 6} \setminus \quad$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus = \setminus \frac{4}{5} \cdot \frac{5 x + 6 \frac{1}{4}}{5 x + 6} \setminus \quad$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus = \setminus \frac{4}{5} \cdot \frac{5 x + 6 + 6 \frac{1}{4} - 6}{5 x + 6} \setminus \quad$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus = \setminus \frac{4}{5} \cdot \left[\frac{5 x + 6}{5 x + 6} + \frac{6 \frac{1}{4} - 6}{5 x + 6}\right] \setminus \quad$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus = \setminus \frac{4}{5} \cdot \left[1 + \frac{\frac{1}{4}}{5 x + 6}\right] \setminus \quad$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus = \setminus \frac{4}{5} + \left[\frac{\textcolor{red}{\cancel{4}}}{5} \cdot \frac{1}{\textcolor{red}{\cancel{4}}} \cdot \frac{1}{5 x + 6}\right] \setminus \quad$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus = \setminus \frac{4}{5} + \left[\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5 x + 6}\right] \setminus \quad$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus = \setminus \frac{4}{5} + \frac{1}{5} {\left(5 x + 6\right)}^{- 1} . \setminus \quad$

$\text{So:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad f \left(x\right) \setminus = \setminus \frac{4}{5} + \frac{1}{5} {\left(5 x + 6\right)}^{- 1} . \setminus \quad$

$\text{This can be differentiated immediately:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad f ' \left(x\right) \setminus = \setminus 0 + \frac{1}{5} \left(- 1\right) {\left(5 x + 6\right)}^{- 2} \left(5 x + 6\right) ' \setminus \quad$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus \frac{1}{5} \left(- 1\right) \frac{1}{5 x + 6} ^ \left\{2\right\} \cdot 5 \setminus \quad$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus \frac{1}{\textcolor{red}{\cancel{5}}} \left(- 1\right) \frac{1}{5 x + 6} ^ \left\{2\right\} \cdot \textcolor{red}{\cancel{5}} \setminus \quad$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus - \frac{1}{5 x + 6} ^ \left\{2\right\} \setminus \quad .$

$\text{Thus:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad f ' \left(x\right) \setminus = \setminus - \frac{1}{5 x + 6} ^ \left\{2\right\} \setminus \quad .$

$\text{Hope this may have given a short-cut tool (!). It really does go}$
$\text{fast in practice, and allows an immediate differentiation.}$