# If u and v are odd functions of x, what can be said about (u+v),(u-v),(u/v) and u*v? how do you find if they are Even, Odd or neither?

May 13, 2018

A) Sum = odd
B) Difference = neither even or odd function
C) Quotient = even
D) Product = even

#### Explanation:

If both $u$ and $v$ are odd functions, then we have:

$u \left(- x\right) = - u \left(x\right)$
$v \left(- x\right) = - v \left(x\right)$

A) Sum:

$\left(u + v\right) \left(- x\right) = u \left(- x\right) + v \left(- x\right)$
$\setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus = - u \left(x\right) - v \left(x\right)$
$\setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus = - \left(u \left(x\right) + v \left(x\right)\right)$
$\setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus = - \left(u + v\right) \left(x\right)$, an odd function

B) Difference:

$\left(u - v\right) \left(- x\right) = u \left(- x\right) - v \left(- x\right)$
$\setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus = - u \left(x\right) + v \left(x\right)$
$\setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \ne - \left(u + v\right) \left(x\right)$, neither even or odd function

C) Quotient:

$\left(\frac{u}{v}\right) \left(- x\right) = \frac{u \left(- x\right)}{v \left(- x\right)}$
$\setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus = \frac{- u \left(x\right)}{- v \left(x\right)}$
$\setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus = \frac{u \left(x\right)}{v \left(x\right)}$, an even function

D) Product:

$\left(u \cdot v\right) \left(- x\right) = u \left(- x\right) \cdot v \left(- x\right)$
$\setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus = \left(- u \left(x\right)\right) \cdot \left(- v \left(x\right)\right)$
$\setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus = u \left(x\right) \cdot v \left(x\right)$, an even function