# Let A={8,9,10,11} & B={2,3,4,5} & R be the relation from A to B defined by (x,y) belongs to R such that "y divides x". Then the domain of R is?

Feb 25, 2018

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \text{domain of} \setminus \setminus R \setminus = \setminus \setminus \left\{8 , 9 , 10 \setminus\right\} .$

#### Explanation:

$\text{We are given:}$

$\text{i)} \setminus \setminus \setminus \quad A \setminus = \setminus \setminus \left\{8 , 9 , 10 , 11 \setminus\right\} .$

$\text{ii)} \setminus \setminus \quad B \setminus = \setminus \setminus \left\{2 , 3 , 4 , 5 \setminus\right\} .$

$\text{iii)" \quad R \ \ "is the relation from" \ A \ "to" \ B, "defined as follows:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \left(x , y\right) \setminus \in R \setminus \quad \Leftrightarrow \setminus \quad y \setminus \quad \text{divides} \setminus \quad x .$

$\text{We want to find:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \text{The domain of} \setminus \quad R .$

$\text{We can proceed as follows.}$

$\text{1)" \quad R \ \ "can be restated as:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \left(x , y\right) \setminus \in R \setminus \quad \Leftrightarrow \setminus \quad x \setminus \quad \text{is a multiple of} \setminus \quad y .$

$\text{2)" \quad \ "So, we observe:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad x \setminus \in \text{domain of" \ R \quad hArr \quad ( x, y ) \in R, \quad "for some} \setminus \setminus y \setminus \in B$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \Leftrightarrow \setminus \quad x \setminus \quad \text{is a multiple of" \quad y, \quad "for some} \setminus y \setminus \in B$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \Leftrightarrow \setminus \quad B \setminus \text{contains a multiple of} \setminus x .$

$\setminus q \quad \setminus \quad \setminus \text{So, from beginning to end here, we conclude:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad x \setminus \in \text{domain of" \ R \quad hArr \quad B \ "contains a multiple of} \setminus x .$

$\text{3)" \quad \ "So, to find the domain of" \ R, "we keep those elements of" \ A \ "that are a multiple of something in" \ B. \ \ "This is not hard to do:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad A \setminus = \setminus \setminus \left\{8 , 9 , 10 , 11 \setminus\right\} \setminus q \quad \setminus q \quad B \setminus = \setminus \setminus \left\{2 , 3 , 4 , 5 \setminus\right\} .$

$\text{We see:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \setminus 8 \setminus \quad \text{is a multiple of" \quad 2 \ ( "and" \ 4 ), \qquad 9 \quad "is a multiple of} \setminus \quad 3 ,$

$10 \setminus \quad \text{is a multiple of" \quad 2, \qquad 11 \quad "is not a multiple of anything in} \setminus B .$

$\text{So, we have now:}$

 \qquad \qquad \qquad \qquad 8, 9, 10 \quad "are in the domain of" \ R;
$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \setminus 11 \setminus \quad \text{is not in the domain of} \setminus R .$

$\text{So, finally, we conclude:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \text{domain of} \setminus R \setminus = \setminus \setminus \left\{8 , 9 , 10 \setminus\right\} .$