# Log(tanπ/4+ix/2)=?

Feb 15, 2018

$\setminus$

$\setminus q \quad \log \left(\tan \left(\setminus \frac{\pi}{4}\right) + i \frac{x}{2}\right) \setminus = \setminus \log \left(\setminus \frac{\sqrt{4 + {x}^{2}}}{2}\right) + i {\tan}^{- 1} \left(\frac{x}{2}\right) .$

#### Explanation:

$\setminus$

$\log \left(\tan \left(\setminus \frac{\pi}{4}\right) + i \frac{x}{2}\right) \setminus = \setminus \log \left(1 + i \frac{x}{2}\right)$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus \log \left(\frac{1}{2} \setminus \cdot \left[2 + i x\right]\right)$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus \log \left[\frac{1}{2} \setminus \cdot \setminus \sqrt{4 + {x}^{2}} \setminus \cdot \left(\frac{2}{\setminus} \sqrt{4 + {x}^{2}} + i \frac{x}{\setminus} \sqrt{4 + {x}^{2}}\right)\right]$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus \log \left[\setminus \frac{\sqrt{4 + {x}^{2}}}{2} \setminus \cdot \left(\frac{2}{\setminus} \sqrt{4 + {x}^{2}} + i \frac{x}{\setminus} \sqrt{4 + {x}^{2}}\right)\right]$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus \setminus \log \left(\setminus \frac{\sqrt{4 + {x}^{2}}}{2}\right) + \log \left(\frac{2}{\setminus} \sqrt{4 + {x}^{2}} + i \frac{x}{\setminus} \sqrt{4 + {x}^{2}}\right)$

 \qquad \qquad \qquad = \ \ log ( \sqrt{ 4 + x^2 }/2 ) + log[ cos( \theta ) + i sin( \theta ) ];
$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \text{where} \setminus \quad \setminus \theta \setminus = \setminus {\tan}^{- 1} \left(\frac{x}{2}\right)$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \text{(see footnote)}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus \setminus \log \left(\setminus \frac{\sqrt{4 + {x}^{2}}}{2}\right) + \log \left[{e}^{i \setminus \theta}\right]$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus \setminus \log \left(\setminus \frac{\sqrt{4 + {x}^{2}}}{2}\right) + i \setminus \theta$

 \qquad \qquad \qquad = \ \ log ( \sqrt{ 4 + x^2 }/2 ) + i tan^{-1}( x/2 );
$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \text{since} \setminus \quad \setminus \theta \setminus = \setminus {\tan}^{- 1} \left(\frac{x}{2}\right) .$

$\text{So we have our result:}$

$\setminus q \quad \log \left(\tan \left(\setminus \frac{\pi}{4}\right) + i \frac{x}{2}\right) \setminus = \setminus \log \left(\setminus \frac{\sqrt{4 + {x}^{2}}}{2}\right) + i {\tan}^{- 1} \left(\frac{x}{2}\right) .$

$\setminus$

$\text{Footnote: making a right triangle with one leg} = 2 ,$
$\text{other leg" \ = x,\ "and angle" \ \ \theta = \ "the angle adjacent to the}$
$\text{leg of measure 2, we see immediately:}$

$\cos \left(\setminus \theta\right) = \frac{2}{\setminus} \sqrt{4 + {x}^{2}} , \setminus q \quad \sin \left(\setminus \theta\right) = \frac{x}{\setminus} \sqrt{4 + {x}^{2}} , \setminus q \quad \tan \left(\setminus \theta\right) = \frac{x}{2.}$

$\text{By the last equation here, we have at once:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \theta = {\tan}^{- 1} \left(\frac{x}{2}\right) .$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \square$