Question

Please solve this?

Answer 1

`sum_(r=0)^nr/(C_r^n)=(na)/2`

Explanation:

If `a=sum_(r=0)^n1/(C_r^n)`

= `1/(C_0^n)+1/(C_1^n)+1/(C_2^n)+1/(C_3^n)+.....+1/(C_(n-3)^n)+1/(C_(n-2)^n)+1/(C_(n-1)^n)+1/(C_n^n)`

= `1+1/(C_1^n)+1/(C_2^n)+1/(C_3^n)+.....+1/(C_3^n)+1/(C_2^n)+1/(C_1^n)+1`

= `2+2[1/(C_1^n)+1/(C_2^n)+1/(C_3^n)+.....]`

or `1/(C_1^n)+1/(C_2^n)+1/(C_3^n)+.....=(a-2)/2`

Hence `sum_(r=0)^nr/(C_r^n)`

= `0+1/(C_1^n)+2/(C_2^n)+3/(C_3^n)+.....+(n-3)/(C_(n-3)^n)+(n-2)/(C_(n-2)^n)+(n-1)/(C_(n-1)^n)+n/(C_n^n)`

= `(1+n-1)/(C_1^n)+(2+n-2)/(C_2^n)+(3+n-3)/(C_3^n)+....+n`

= `n/(C_1^n)+n/(C_2^n)+n/(C_3^n)+....+n`

= `n((a-2)/2)+n`

= `(na-2n+2n)/2`

= `(na)/2`