Prove the following identity.? tanh^2(x)=1-sech^2(x)

1 Answer
Feb 20, 2018

See the proof below

Explanation:

Start from the definition of #coshx# and #sinhx#

#coshx=(e^x+e^-x)/2#

#sinhx=(e^x-e^-x)/2#

#tanhx=sinhx/coshx=(e^x-e^-x)/(e^x+e^-x)#

Therefore,

#RHS=tanh^2x=((e^x-e^-x)/(e^x+e^-x))^2#

#=(e^(2x)+e^(-2x)-2)/(e^(2x)+e^(-2x)+2)#

#LHS=1-sech^2x=1-1/cosh^2x#

#=1-4/(e^(2x)+e^(-2x)+2)#

#=(e^(2x)+e^(-2x)+2-4)/(e^(2x)+e^(-2x)+2)#

#=(e^(2x)+e^(-2x)-2)/(e^(2x)+e^(-2x)+2)#

Finally,

#RHS=LHS=(e^(2x)+e^(-2x)-2)/(e^(2x)+e^(-2x)+2)#

#QED#