# What is a nonzero k that makes the function continuous at x=0? f(x) is (tankx)/(x), x<0 and 3x+2k^2, x>=0

Feb 18, 2018

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus k \setminus = \setminus \frac{1}{2.}$

#### Explanation:

$\text{Let's look at the value of" \ \ f(x) \ \"at" \ \ x = 0, "and the left- and}$
$\text{right-sided limits as} \setminus \quad x \rightarrow 0.$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad f \left(x\right) \setminus \text{will be continuous at} \setminus x = 0 \setminus \quad \Leftrightarrow \setminus \quad$

$f \left(0\right) , \setminus \quad \setminus {\lim}_{x \rightarrow {0}^{-}} f \left(x\right) , \setminus \quad \setminus {\lim}_{x \rightarrow {0}^{+}} f \left(x\right) \setminus q \quad \text{all exist, and are all equal}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \text{to each other.}$

$\text{By the construction of the function, we have:}$

$\text{a)} \setminus q \quad \setminus q \quad f \left(0\right) \setminus = \setminus 3 \left(0\right) + 2 {k}^{2} \setminus = \setminus 2 {k}^{2.}$

$\therefore \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad f \left(0\right) \setminus = \setminus 2 {k}^{2.} \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \setminus \setminus \left(1\right)$

$\text{b)} \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus {\lim}_{x \rightarrow {0}^{-}} f \left(x\right) \setminus = \setminus \setminus {\lim}_{x \rightarrow {0}^{-}} \frac{\tan k x}{x}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus \setminus {\lim}_{x \rightarrow {0}^{-}} \frac{\sin k x}{\left(\cos k x\right) x}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus \setminus {\lim}_{x \rightarrow {0}^{-}} \frac{1}{\cos k x} \setminus \cdot \frac{\sin k x}{x}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus \setminus {\lim}_{x \rightarrow {0}^{-}} \frac{1}{\cos k x} \setminus \cdot \frac{\sin k x}{k x} \setminus \cdot k$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus \frac{1}{\cos 0} \setminus \cdot 1 \setminus \cdot k \setminus = \setminus \frac{1}{\cos 0} \setminus \cdot 1 \setminus \cdot \setminus = \setminus k .$

$\therefore \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus {\lim}_{x \rightarrow {0}^{-}} f \left(x\right) \setminus = \setminus k . \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \left(2\right)$

$\text{c)} \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus {\lim}_{x \rightarrow {0}^{+}} f \left(x\right) \setminus = \setminus \setminus {\lim}_{x \rightarrow {0}^{-}} 3 x + 2 {k}^{2}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus 3 \left(0\right) + 2 {k}^{2}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus 2 {k}^{2.}$

$\therefore \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus {\lim}_{x \rightarrow {0}^{+}} f \left(x\right) \setminus = \setminus 2 {k}^{2.} \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \left(3\right)$

$\text{Thus:" \qquad \qquad \qquad f(0), \quad \lim_{x rarr 0^-} f(x), \quad \lim_{x rarr 0^+} f(x) \qquad \qquad "all exist.}$

$\text{So:" \qquad \quad f(x) \ \ "will now be continuous at" \ \x = 0, "precisely when}$
$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \text{all these 3 quantities are equal:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad f \left(0\right) \setminus = \setminus \setminus {\lim}_{x \rightarrow {0}^{-}} f \left(x\right) \setminus = \setminus \setminus {\lim}_{x \rightarrow {0}^{+}} f \left(x\right) .$

$\text{Using our results from eqns. (1), (2), (3) above, this becomes:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \quad 2 {k}^{2} \setminus = \setminus k \setminus = \setminus 2 {k}^{2.}$

$\text{This is the same as just:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \quad 2 {k}^{2} \setminus = \setminus k .$

$\text{Solving:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad 2 {k}^{2} - k \setminus = \setminus 0 .$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad k \left(2 k - 1\right) \setminus = \setminus 0 .$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus k \setminus = \setminus 0 , \setminus q \quad 2 k \setminus = \setminus 1.$

$\therefore \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus k \setminus = \setminus 0 , \setminus q \quad k \setminus = \setminus \frac{1}{2.}$

$\text{As" \ \ k \ \ "was required nonzero, we have our solution:}$

$\therefore \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus k \setminus = \setminus \frac{1}{2.}$

$\text{This is our answer.}$