What is the derivative of tan(xy)?

May 30, 2016

$\frac{d}{\mathrm{dx}} \left(\tan \left(x y \setminus\right)\right) = \setminus {\sec}^{2} \setminus \left(x y\right) y$

Explanation:

$\frac{d}{\mathrm{dx}} \left(\tan \left(x y \setminus\right)\right)$

Applying Chain rule,
$\setminus \frac{\mathrm{df} \setminus \left(u \setminus\right)}{\mathrm{dx}} = \setminus \frac{\mathrm{df}}{\mathrm{du}} \setminus \cdot \setminus \frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}$

Let $x y = u$

$= \setminus \frac{d}{\mathrm{du}} \setminus \left(\setminus \tan \setminus \left(u \setminus\right) \setminus\right) \setminus \frac{d}{\mathrm{dx}} \setminus \left(x y \setminus\right)$

We know,
$\setminus \frac{d}{\mathrm{du}} \setminus \left(\setminus \tan \setminus \left(u \setminus\right) \setminus\right) = \setminus {\sec}^{2} \setminus \left(u \setminus\right)$ and,
$\setminus \frac{d}{\mathrm{dx}} \setminus \left(x y \setminus\right) = y$

So,
$= \setminus {\sec}^{2} \setminus \left(u \setminus\right) y$

Finally,substituting back,$x y = u$
$= \setminus {\sec}^{2} \left(x y \setminus\right) y$