What is the derivative of y=x^(5x)?

May 30, 2016

$\setminus \frac{d}{\mathrm{dx}} \setminus \left({x}^{5 x} \setminus\right) = 5 {x}^{5 x} \setminus \left(\setminus \ln \setminus \left(x \setminus\right) + 1\right)$

Explanation:

$\setminus \frac{d}{\mathrm{dx}} \setminus \left({x}^{5 x}\right)$

Applying exponent rule,
${a}^{b} = {e}^{b \setminus \ln \setminus \left(a \setminus\right)}$

${x}^{5 x} = {e}^{5 x \setminus \ln \setminus \left(x \setminus\right)}$

$= \setminus \frac{d}{\mathrm{dx}} \setminus \left({e}^{5 x \setminus \ln \setminus \left(x \setminus\right)} \setminus\right)$

Applying chain rule,
$\setminus \frac{\mathrm{df} \setminus \left(u \setminus\right)}{\mathrm{dx}} = \setminus \frac{\mathrm{df}}{\mathrm{du}} \setminus \cdot \setminus \frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}$

Let $5 x \setminus \ln \setminus \left(x \setminus\right) = u$

$= \setminus \frac{d}{\mathrm{du}} \setminus \left({e}^{u} \setminus\right) \setminus \frac{d}{\mathrm{dx}} \setminus \left(5 x \setminus \ln \setminus \left(x \setminus\right) \setminus\right)$

We know,
$\setminus \frac{d}{\mathrm{du}} \setminus \left({e}^{u} \setminus\right) = {e}^{u}$
and,
$\setminus \frac{d}{\mathrm{dx}} \setminus \left(5 x \setminus \ln \setminus \left(x \setminus\right) \setminus\right) = 5 \setminus \left(\setminus \ln \setminus \left(x \setminus\right) + 1 \setminus\right)$

So,
$\setminus \frac{d}{\mathrm{dx}} \setminus \left(5 x \setminus \ln \setminus \left(x \setminus\right) \setminus\right) = 5 \setminus \left(\setminus \ln \left(x \setminus\right) + 1 \setminus\right)$

Substituting back,
$u = 5 x \setminus \ln \setminus \left(x \setminus\right)$

Simplifying,
$\setminus \frac{d}{\mathrm{dx}} \setminus \left({x}^{5 x} \setminus\right) = 5 {x}^{5 x} \setminus \left(\setminus \ln \setminus \left(x \setminus\right) + 1 \setminus\right)$