What is the solution of Log of 0.00001 to the base 0.01 without using logarithm table and calculator?

Mar 8, 2018

$\text{The answer is:} \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad {\log}_{0.01} 0.00001 \setminus = \setminus \frac{5}{2.}$

Explanation:

$\text{Nice question !! We can proceed as follows, using some Rules}$
$\text{for Logarithms, and some Rules for Exponents.}$

$\text{One way to start is:}$

$\text{Let:} \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad {\log}_{0.01} 0.00001 \setminus = \setminus x . \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \setminus \setminus \left(I\right)$

$\setminus q \quad \textcolor{b l u e}{\text{now rewrite this as an exponential equation using}}$
$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \setminus \textcolor{b l u e}{\text{the fundamental property of logarithms:}}$
$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \textcolor{b l u e}{{\log}_{b} a \setminus = \setminus x \setminus \quad \iff \setminus \quad {b}^{x} = a .}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \setminus {\log}_{0.01} 0.00001 \setminus = \setminus x$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \setminus {\log}_{0.01} 0.00001 \setminus = \setminus \textcolor{red}{x}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad {0.01}^{\textcolor{red}{x}} \setminus = \setminus 0.00001$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \setminus {\left({10}^{- 2}\right)}^{x} \setminus = \setminus {10}^{- 5}$

 \qquad color{blue}{ "now use Product Rule for Exponents:" \qquad ( a^p )^q \ = \ a^{ p cdot q }.

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus {10}^{- 2 x} \setminus = \setminus {10}^{- 5}$

$\setminus q \quad \textcolor{b l u e}{\text{now equate Exponents, because the base is the same on}}$
$\setminus q \quad \textcolor{b l u e}{\text{both sides ---" \ \ 10. \ \ "[Note: cannot do this if the base}}$
$\setminus q \quad \textcolor{b l u e}{\text{is 0 or 1; so we're Ok here with base 10.]}}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \therefore \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus - 2 x \setminus = \setminus - 5$

$\setminus q \quad \textcolor{b l u e}{\text{solve:}}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus x \setminus = \setminus \frac{- 5}{- 2}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus x \setminus = \setminus \frac{5}{2.}$

$\text{Now looking back to line (I), we see" \ \ x \ \ "is the original quantity}$
$\text{we wanted to find ! So:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad {\log}_{0.01} 0.00001 \setminus = \setminus \frac{5}{2.}$