# Question c8fd3

Feb 20, 2018

$\therefore \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \text{this suface has no" \ z"-intercepts.}$

#### Explanation:

$\text{Recall that the" \ z"-intercepts of any subset" \ S sube RR^3 \ "are the}$
$\text{points where" \ S \ "intersects the" \ z"-axis.}$

$\text{Recall further that the" \ z"-axis consists of all points of" \ RR^3 \ "of the}$
$\text{form" \ (0, 0, z), "where" \ z \in RR. \ "I.e., all points of" \ RR^3, "where" \ \ x = 0 \ \ "and} \setminus \setminus y = 0.$

$\text{So we are given the surface:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad 2 {x}^{2} - {z}^{2} - x y - 8 y z + y - z - 2 \setminus = \setminus 0. \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \left(1\right)$

$\text{So to find the" \ z"-intercepts of this surface, we look for all}$
$\text{points of the surface where:" \ \ x = 0 \ \ "and} \setminus \setminus y = 0.$

$\text{Thus, we solve eqn. (1), with:" \ \ x = 0 \ \ "and} \setminus \setminus y = 0.$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus 2 {x}^{2} - {z}^{2} - x y - 8 y z + y - z - 2 \setminus = \setminus 0.$

$\text{Let" \ \ x = 0 \ \ "and" \ \ y=0; "and continue solving for} \setminus z :$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \left(2 \setminus \cdot {0}^{2}\right) - {z}^{2} - \left(0 \setminus \cdot 0\right) - \left(8 \setminus \cdot 0 \setminus \cdot z\right) + 0 - z - 2 \setminus = \setminus 0$

 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad - z^2 - z - 2 \ = \ 0 #

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus - \left(- {z}^{2} - z - 2\right) \setminus = \setminus - \left(0\right)$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus {z}^{2} + z + 2 \setminus = \setminus 0.$

$\text{The quadratic expression is not factorable, so we solve by the}$
$\text{Quadratic Formula:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad z \setminus = \setminus \frac{- b \setminus \pm \setminus \sqrt{{b}^{2} - 4 a c}}{2 a} \setminus = \setminus \frac{- 1 \setminus \pm \setminus \sqrt{{1}^{2} - 4 \setminus \cdot 1 \setminus \cdot 2}}{2 \setminus \cdot 1}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus = \setminus \frac{- 1 \setminus \pm \setminus \sqrt{{1}^{2} - 4 \setminus \cdot 1 \setminus \cdot 2}}{2 \setminus \cdot 1}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus = \setminus \frac{- 1 \setminus \pm \setminus \sqrt{- 7}}{2}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus = \setminus \frac{- 1 \setminus \pm i \setminus \sqrt{7}}{2} \setminus \quad .$

$\therefore \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad z \setminus = \setminus \frac{- 1 \setminus \pm i \setminus \sqrt{7}}{2} \setminus \quad .$

$\therefore \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \text{no real solutions for} \setminus z .$

$\therefore \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \text{this suface has no" \ z"-intercepts.}$

$\text{This is our solution.}$

$\text{[This may be the problem they meant, but I wonder if the}$
$\text{question was copied correctly ?!] }$