# Question d14f6

Mar 1, 2018

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \text{the solutions are:} \setminus q \quad \setminus \setminus \setminus x \setminus = \setminus \setminus \pm \frac{\sqrt{- 2 + 2 \sqrt{5}}}{2} \setminus \quad .$

#### Explanation:

$\text{We want to solve:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad {\tan}^{- 1} \left(x\right) \setminus = \setminus {\cos}^{- 1} \left(x\right) .$

$\text{We can proceed as follows:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \tan \left[{\tan}^{- 1} \left(x\right)\right] \setminus = \setminus \tan \left[{\cos}^{- 1} \left(x\right)\right] . \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \left(I\right)$

$\setminus q \quad \setminus \quad \setminus \Rightarrow \setminus \quad \text{now using:" \qquad tan^{-1}( tan ( x ) ) = x, \quad "in} \setminus \setminus \left(I\right) \setminus \quad \Rightarrow$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad x \setminus = \setminus \tan \left[{\cos}^{- 1} \left(x\right)\right] .$

$\text{Emphasizing:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \setminus x \setminus = \setminus \tan \left[\setminus {\underbrace{{\cos}^{- 1} \left(x\right)}}_{\setminus \theta}\right] \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \left(I I\right)$

$\setminus q \quad \setminus \quad \setminus \Rightarrow \setminus \quad \text{now using:} \setminus q \quad 1 + {\tan}^{2} \setminus \theta = {\sec}^{2} \setminus \theta \setminus \quad \Rightarrow$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \setminus \setminus \tan \setminus \theta = \sqrt{{\sec}^{2} \setminus \theta - 1} \setminus \quad \Rightarrow$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \setminus \setminus \tan \setminus \theta = \sqrt{\frac{1}{{\cos}^{2} \setminus \theta} - 1} , \setminus \quad \text{in} \setminus \setminus \left(I I\right) \setminus \quad \Rightarrow$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad x \setminus = \setminus \sqrt{\frac{1}{{\cos}^{2} \left({\cos}^{- 1} \left(x\right)\right)} - 1}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad x \setminus = \setminus \sqrt{\frac{1}{{\left[\cos \left({\cos}^{- 1} \left(x\right)\right)\right]}^{2} - 1}} . \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \left(I I I\right)$

$\setminus q \quad \setminus \quad \setminus \Rightarrow \setminus \quad \text{now using:" \qquad cos^{-1}( cos( x ) ) = x, \quad "in} \setminus \setminus \left(I I I\right) \setminus \quad \Rightarrow$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad x \setminus = \setminus \sqrt{\frac{1}{{x}^{2}} - 1} .$

$\setminus q \quad \therefore \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad {x}^{2} \setminus = \setminus \frac{1}{{x}^{2}} - 1.$

$\setminus q \quad \therefore \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \setminus {x}^{2} \left[{x}^{2}\right] \setminus = \setminus {x}^{2} \left[\frac{1}{{x}^{2}} - 1\right] .$

$\setminus q \quad \therefore \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus {x}^{4} \setminus = \setminus 1 - {x}^{2.}$

$\setminus q \quad \therefore \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad {x}^{4} + {x}^{2} - 1 \setminus = \setminus 0.$

$\therefore \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad {\left({x}^{2}\right)}^{2} + \left({x}^{2}\right) - 1 \setminus = \setminus 0. \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \left(I V\right)$

$\text{Now let (for convenience): } \setminus q \quad u \setminus = \setminus {x}^{2.} \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \left(V\right)$

$\text{So (IV) becomes: }$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad {u}^{2} + u - 1 \setminus = \setminus 0.$

$\text{So by the Quadratic Formula: }$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad u \setminus = \setminus \frac{- 1 \setminus \pm \sqrt{{\left(1\right)}^{2} - 4 \left(1\right) \left(- 1\right)}}{2 \cdot 1} .$

$\setminus q \quad \therefore \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus u \setminus = \setminus \frac{- 1 \setminus \pm \sqrt{1 + 4}}{2.}$

$\setminus q \quad \therefore \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \quad \setminus u \setminus = \setminus \frac{- 1 \setminus \pm \sqrt{5}}{2.}$

 \qquad :. \qquad u \ = \ { -1 - sqrt{ 5 } }/2 \qquad \qquad "or \qquad \qquad u \ = \ { -1 + sqrt{ 5 } }/2. #

$\text{So by (V): }$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad {x}^{2} \setminus = \setminus - \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \setminus q \quad \setminus q \quad \text{and} \setminus q \quad \setminus q \quad {x}^{2} \setminus = \setminus \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2.}$

$\text{Looking at the original equation, at the top, we see" \ x \ "must be}$
$\text{a real number because the domain of" \ \ tan(x) \ \ "is, in particular,}$
$\text{a subset of the real numbers. The first pair of equations in the}$
$\text{previous yields no real solutions for" \ x, \ "as" \ - { 1 + sqrt{ 5 } }/2 \ "is}$
$\text{negative. And the second pair yields two real solutions, as}$
$\setminus \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \setminus \text{is positive [ certainly" \ sqrt{ 5 } > 1 \ "].}$

$\setminus q \quad \therefore \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad {x}^{2} \setminus = \setminus \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} , \setminus q \quad \text{only} .$

$\setminus q \quad \therefore \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad x \setminus = \setminus \setminus \pm \sqrt{\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}} .$

$\setminus q \quad \therefore \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad x \setminus = \setminus \setminus \pm \sqrt{\frac{2 \left(- 1 + \sqrt{5}\right)}{2 \cdot 2}} .$

$\setminus q \quad \therefore \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad x \setminus = \setminus \setminus \pm \frac{\sqrt{- 2 + 2 \sqrt{5}}}{2} .$

$\text{These are our solutions !!}$

$\text{So, summarizing:}$

$\setminus q \quad \setminus \quad \odot \setminus \text{the solutions of:} \setminus q \quad {\tan}^{- 1} \left(x\right) = {\cos}^{- 1} \left(x\right)$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \quad \setminus \text{are:} \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \setminus x \setminus = \setminus \setminus \pm \frac{\sqrt{- 2 + 2 \sqrt{5}}}{2} \setminus \quad . \setminus q \quad \setminus q \quad \square$