Let
#f(x)=csc2x#
#f(x+Deltax)=csc2(x+Deltax)#
#f(x+Deltax)-f(x)=csc2(x+Deltax)-csc2x#
Now,
#lim((f(x+Deltax)-f(x))/((x+Deltax)-Deltax))=(csc2(x+Deltax)-csc2x)/(Deltax)#
#=1/(Deltax)((csc2(x+Deltax)-csc2x)/(Deltax))#
#=1/(Deltax)(1/sin(2(x+Deltax))-1/sin(2x))#
#=1/(Deltax)((sin2x-sin2(x+Deltax))/(sin(2(x+Deltax))sin2x))#
#SinC-sinD=2cos((C+D)/2)sin((C-D)/2)#
implies
#C=2x, D=2(x+Deltax)#
# (C+D)/2=(2x+2(x+Deltax))/2#
#=(2x+2x+2Deltax)/2#
#=(4x+2Deltax)/2#
#=2(2x+Deltax)/2#
#(C+D)/2=2x+Deltax#
# (C-D)/2=(2x-2(x+Deltax))/2#
#=(2x-2x-2Deltax)/2#
#=(-2Deltax)/2#
#(C-D)/2=-Deltax#
#sin2x-sin2(x+Deltax)=2cos(2x+Deltax)sin(-Deltax)#
#lim(Deltaxto0)((f(x+Deltax)-f(x))/((x+Deltax)-Deltax))=1/(Deltax)(2cos(2x+Deltax)sin(-Deltax))/(sin(2(x+Deltax))sin2x)#
#=(2)(-sin(Deltax)/(Deltax))(1/sin(2x))((cos(2x+Deltax))/(sin(2(x+Deltax))))#
#(-2)/sinxlim(Deltaxto0)(sin(Deltax)/(Deltax)) lim(Deltaxto0)((cos(2x+Deltax))/(sin(2(x+Deltax))))#
#lim(Deltaxto0)(sin(Deltax)/(Deltax))=1#
Now,
#=-2cscx(1)(cos2x)/sin(2x)#
#=-2csc2xcot2x#
