# A polynomial on division with x-2 and 2x-1/2 leaves remainder 1 and 2 respectively. What would be remainder when polymial is divided by (x-2)(4x-1)?

Feb 15, 2018

$\setminus$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \text{The remainder is:} \setminus q \quad \setminus q \quad - \frac{4}{7} x + \frac{15}{7.}$

#### Explanation:

$\text{Given:}$

$\text{1)" \ \ "Unknown polynomial, call it} \setminus \setminus p \left(x\right) .$

$\text{2)" \ \ p(x), \ \ "divided by" \ \ ( x - 2 ), \ \ "leaves remainder} \setminus \setminus 1.$

$\text{3)" \ \ p(x), \ \ "divided by" \ \ ( 2 x - 1/2 ), \ \ "leaves remainder} \setminus \setminus 2.$

$\text{Determine:}$

$\text{The remainder, when" \ \ p(x) \ \ "is divided by} \setminus \setminus \left(x - 2\right) \left(4 x - 1\right) .$

$\setminus$

$\text{Analysis.}$

$\text{1)" \ \ p(x), \ \ "divided by" \ \ ( x - 2 ), \ \ "leaves remainder} \setminus \setminus 1 \Rightarrow$

 \qquad \quad \ p(x) \ = \ ( x - 2 ) \cdot u(x) + 1; \qquad \ "for some polynomial" \ \ u(x).

$\text{2)" \ \ \ p(x), \ \ "divided by" \ \ ( 2 x - 1/2 ), \ \ "leaves remainder} \setminus \setminus 2 \Rightarrow$

 \ \ p(x) \ = \ ( 2 x - 1/2 ) \cdot v(x) + 2; \qquad \ "for some polynomial" \ \ v(x).

$\text{3) Consider the division of" \ \ p(x) \ \ "by" \ \ ( x - 2 )( 4 x - 1 ); \ \ "resulting in a" \ "quotient," \ q(x), \ "and a remainder," \ r(x). "We write:}$

 \ \ \ p(x) \ = \ q(x) ( x - 2 )( 4 x - 1 ) + r(x); \quad "for some polynomials"
$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad q \left(x\right) , r \left(x\right) ,$

$\setminus \quad \setminus \setminus \setminus \text{where:" \ \ "deg" \ r(x) <= "deg" \ [ ( x - 2 )( 4 x - 1 ) ] \quad "or} \setminus \quad r \left(x\right) = 0.$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \setminus \therefore \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \setminus \text{deg" \ r(x) <= 2 \qquad "or} \setminus q \quad r \left(x\right) = 0.$

 \qquad \quad :. \qquad \qquad \ \ r(x) \ = \ a x + b ; \qquad \qquad \quad "for some" \ \ a, b \in RR.

$\setminus q \quad \setminus \text{We seek to find the remainder:} \setminus q \quad \setminus \quad \setminus r \left(x\right) .$

$\text{4) Substitute" \ \ r(x) \ \ "into the first equation of part (3):}$

 \quad \quad \ \ p(x) \ = \ q(x) ( x - 2 )( 4 x - 1 ) + a x + b; \qquad \quad a, b \in RR. \qquad \ \ (1)

$\text{5) a) Substitute" \ \ x = 2 \ \ "into eqn. (1) above:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad p \left(2\right) \setminus = \setminus \textcolor{red}{\cancel{q \left(2\right) \left(2 - 2\right) \left(4 \setminus \cdot 2 - 1\right)}} + a \left(2\right) + b$

$\therefore \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad p \left(2\right) \setminus = \setminus 2 a + b .$

$\setminus q \quad \text{b) Now substitute" \ \ x = 1/4 \ \ "into eqn. (1) above:}$

$\setminus \quad \setminus \quad \setminus p \left(\frac{1}{4}\right) \setminus = \setminus \textcolor{red}{\cancel{q \left(\frac{1}{4}\right) \left(\frac{1}{4} - 2\right) \left(4 \setminus \cdot \frac{1}{4} - 1\right)}} + a \left(\frac{1}{4}\right) + b$

$\therefore \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus p \left(\frac{1}{4}\right) \setminus = \frac{1}{4} a + b .$

$\setminus q \quad \text{c) Collecting the two results from parts (5a) and (5b):}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus p \left(2\right) \setminus = \setminus 2 a + b .$
$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \left(2\right)$
$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \setminus \setminus p \left(\frac{1}{4}\right) \setminus = \frac{1}{4} a + b .$

$\text{6) a) Substituting:" \qquad x = 2 \qquad "into part (1) above:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad p \left(2\right) = \setminus \textcolor{red}{\cancel{\left(2 - 2\right) \setminus \cdot u \left(2\right)}} + 1 = 1.$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \therefore \setminus q \quad \setminus q \quad p \left(2\right) = 1$

$\setminus q \quad \text{b) Substituting:" \qquad x = 1/4 \qquad "into part (2) above:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad p \left(\frac{1}{4}\right) = \setminus \textcolor{red}{\cancel{\left(2 \setminus \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) \setminus \cdot v \left(\frac{1}{4}\right)}} + 2 = 2.$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \therefore \setminus q \quad \setminus q \quad p \left(\frac{1}{4}\right) = 2.$

$\setminus q \quad \text{c) Collecting the two results from parts (6a) and (6b):}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad p \left(2\right) = 1.$
$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad p \left(\frac{1}{4}\right) = 2.$

$\setminus q \quad \text{d) Substituting the two results from part (6c) into the two}$
$\text{results in part (5c), we find:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \setminus 1 \setminus = \setminus 2 a + b \setminus \quad \Rightarrow \setminus \quad \setminus \setminus 1 \setminus = \setminus 2 a + b .$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus 2 \setminus = \setminus \frac{1}{4} a + b \setminus \quad \Rightarrow \setminus \quad \setminus 8 \setminus = \setminus a + 4 b .$

$\setminus q \quad \text{e) Solving the" \ \ 2 xx 2 \ \ "system in the RHS of part (6d) above,}$
$\text{we find easily:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad a \setminus = \setminus - \frac{4}{7} , \setminus q \quad \setminus \quad b \setminus = \setminus \frac{15}{7.}$

$\setminus q \quad \text{f) Substituting the results from part (6e) into the expression}$
$\text{for" \ \ r(x) \ \ "at the bottom of part (3) above,}$ $\setminus \text{we obtain:}$

$\setminus q \quad \setminus \setminus r \left(x\right) \setminus = \setminus a x + b \setminus = \setminus \left(- \frac{4}{7}\right) x + \frac{15}{7} \setminus = \setminus - \frac{4}{7} x + \frac{15}{7.}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \text{Thus:} \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad r \left(x\right) \setminus = \setminus - \frac{4}{7} x + \frac{15}{7.}$

$\text{This is the result we sought: the remainder, when" \ \ p(x) \ \ "is divided by} \setminus \setminus \left(x - 2\right) \left(4 x - 1\right) .$

$\setminus$

$\text{Hence, summarizing, we have:}$

$\text{The remainder, when" \ \ p(x) \ \ "is divided by" \ \ ( x - 2 )( 4 x - 1 ) , \ \ "is:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \quad - \frac{4}{7} x + \frac{15}{7.}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \square$