# How do you find the critical numbers of f(x)=(x^2)(e^(11x))?

Feb 9, 2018

$\setminus$

$x \setminus = \setminus 0 , - \frac{2}{11.}$

#### Explanation:

$\setminus$

$\setminus m b \otimes \left\{T h e c r i t i c a l \nu m b e r s\right\} \setminus \setminus f \left(x\right) \setminus \setminus \setminus m b \otimes \left\{a r e t h e s o l u t i o n s o f\right.$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \setminus f ' \left(x\right) \setminus = \setminus 0 \setminus \setminus \setminus m b \otimes \left\{\mathmr{and}\right\} \setminus \setminus f ' \left(x\right) \setminus = \setminus \setminus m b \otimes \left\{u n \mathrm{de} f \in e d\right\} .$

 \mbox{So the first step will be to calculate} \ f'(x), \mbox{and to do this, we} \ \mbox{will use the product rule as the main part of the computation.

 \mbox{1) Given:} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad f(x) \ = \ ( x^2 ) ( e^{ 11 x } ).

 \mbox{2) Product Rule:} \qquad \ \ f'(x) \ = \ ( x^2 ) [ ( e^{ 11 x } ) ]' \ + \ ( x^2 )' [ ( e^{ 11 x } ) ].

 \mbox{3) Special Function Rules -- Power, Exponential Functions:}

 \qquad \qquad f'(x) \ = \ ( x^2 ) [( 11 x )'( e^{ 11 x } ) ] \ + \ ( 2 x ) [( e^{ 11 x } ) ];

$\setminus q \quad \setminus q \quad f ' \left(x\right) \setminus = \setminus 11 \left({x}^{2}\right) \left({e}^{11 x}\right) \setminus + \setminus \left(2 x\right) \left({e}^{11 x}\right) .$

 \mbox{5) Simplification -- Factor Out Common Factor} \ \ e^{ 11 x } \mbox{:}

 \qquad \qquad f'(x) \ = \ [ 11 ( x^2 ) \ + \ ( 2 x ) ] ( e^{ 11 x } );

$\setminus q \quad \setminus q \quad f ' \left(x\right) \setminus = \setminus \left(11 {x}^{2} \setminus + \setminus 2 x\right) {e}^{11 x} .$

 \mbox{4) Critical Numbers:}

 \qquad \qquad \mbox{a) Solve:} \ \ f'(x) \ = \ 0.

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \left(11 {x}^{2} \setminus + \setminus 2 x\right) {e}^{11 x} \setminus = \setminus 0$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \left(11 {x}^{2} \setminus + \setminus 2 x\right) {e}^{11 x} \setminus \cdot {e}^{- 11 x} \setminus = \setminus 0 \setminus \cdot {e}^{- 11 x}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \left(11 {x}^{2} \setminus + \setminus 2 x\right) {e}^{0} \setminus = \setminus 0$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \left(11 {x}^{2} \setminus + \setminus 2 x\right) \cdot 1 \setminus = \setminus 0$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad 11 {x}^{2} \setminus + \setminus 2 x \setminus = \setminus 0$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad x \left(11 x \setminus + \setminus 2\right) \setminus = \setminus 0$

 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x \ = \ 0 \qquad \mbox{or} \qquad x \ = \ - 2/11.

 \qquad \qquad \mbox{b) Solve:} \ f'(x) = \mbox{undefined. (Where is} \ f'(x) \ \mbox{undefined ?)}

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \left(11 {x}^{2} \setminus + \setminus 2 x\right) {e}^{11 x} = \setminus m b \otimes \left\{u n \mathrm{de} f \in e d\right\}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus m b \otimes \left\{C \le a r l y ,\right\} \setminus \left(11 {x}^{2} \setminus + \setminus 2 x\right) {e}^{11 x} \setminus \setminus m b \otimes \left\{i s \mathrm{de} f \in e d e v e r y w h e r e .\right\}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus m b \otimes \left\{S o n o s o l u t i o n s h e r e h e r e .\right\}$

 \qquad \qquad \mbox{c) Combine solutions from parts (a) and (b):}

 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x \ = \ 0, - 2/11.

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus m b \otimes \left\{T h e s e a r e o u r c r i t i c a l p \oint s .\right\}$

 \qquad \qquad \mbox{d) State Solution:}

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad f \left(x\right) \setminus = \setminus \left({x}^{2}\right) \left({e}^{11 x}\right) .$

 \mbox{Critical points:} \qquad \qquad \qquad x \ = \ 0, - 2/11.