How do you find the limit #sqrt(x^2+x)-sqrt(x^2-x)# as #x->oo#?

Question

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Answer 1 · 2018-05-21T13:33:55

#color(blue)(1)#

#sqrt(x^2+x)-sqrt(x^2-x)=>(sqrt(x^2+x)-sqrt(x^2-x))/1#

Multiply by the conjugate: #sqrt(x^2+x)+sqrt(x^2-x)#

#((sqrt(x^2+x)+sqrt(x^2-x))(sqrt(x^2+x)-sqrt(x^2-x)))/(sqrt(x^2+x)+sqrt(x^2-x))#

Expand numerator:

#((sqrt(x^2+x)+sqrt(x^2-x))(sqrt(x^2+x)-sqrt(x^2-x)))/(sqrt(x^2+x)+sqrt(x^2-x))#

#=(2x)/(sqrt(x^2+x)+sqrt(x^2-x))#

Factor radicands:

#=(2x)/(xsqrt(1+1/x)+xsqrt(1-1/x))#

Cancelling:

#=(2)/(sqrt(1+1/x)+sqrt(1-1/x))#

as #x->oocolor(white)(8888)#, #(2)/(sqrt(1+1/x)+sqrt(1-1/x))->(2)/(sqrt(1+0)+sqrt(1-0))#

#=2/2=1#

#:.#

#lim_(x->oo)(sqrt(x^2+x)-sqrt(x^2-x))=1#