Ok let us try:
inte^(3x)cos(2x)dx=e^(3x)/3cos(2x)-int(e^(3x)/3)(-2sin(2x))dx=e^(3x)/3cos(2x)+2/3int(e^(3x))sin(2x)dx=∫e3xcos(2x)dx=e3x3cos(2x)−∫(e3x3)(−2sin(2x))dx=e3x3cos(2x)+23∫(e3x)sin(2x)dx=
again:
=e^(3x)/3cos(2x)+2/3[e^(3x)/3sin(2x)-int(e^(3x)/3)(2cos(2x))dx]=e3x3cos(2x)+23[e3x3sin(2x)−∫(e3x3)(2cos(2x))dx]
So basically we get:
inte^(3x)cos(2x)dx=e^(3x)/3cos(2x)+2/9e^(3x)sin(2x)-4/9inte^(3x)(2cos(2x))dx∫e3xcos(2x)dx=e3x3cos(2x)+29e3xsin(2x)−49∫e3x(2cos(2x))dx
Now a trick....
Let us take -4/9inte^(3x)(2cos(2x))dx−49∫e3x(2cos(2x))dx to the left of the == sign:
inte^(3x)cos(2x)dx+4/9inte^(3x)(2cos(2x))dx=e^(3x)/3cos(2x)+2/9e^(3x)sin(2x)∫e3xcos(2x)dx+49∫e3x(2cos(2x))dx=e3x3cos(2x)+29e3xsin(2x)
add the two integral on the left:
13/9inte^(3x)(2cos(2x))dx=e^(3x)/3cos(2x)+2/9e^(3x)sin(2x)139∫e3x(2cos(2x))dx=e3x3cos(2x)+29e3xsin(2x)
and:
inte^(3x)(2cos(2x))dx=9/13[e^(3x)/3cos(2x)+2/9e^(3x)sin(2x)]+c∫e3x(2cos(2x))dx=913[e3x3cos(2x)+29e3xsin(2x)]+c