Question

How do you integrate `int x^2 e^(-x)dx` using integration by parts?

Answer 1

`intx^2e^(-x)dx=-e^(-x)(x^2+2x+2)+C`

Explanation:

Integration by parts says that:
`intv(du)/(dx)=uv-intu(dv)/(dx)`

`u=x^2;(du)/(dx)=2x`
`(dv)/(dx)=e^(-x);v=-e^(-x)`

`intx^2e^(-x)dx=-x^2e^(-x)-int-2xe^(-2x)dx`

Now we do this:
`int-2xe^(-2x)dx`

`u=2x;(du)/(dx)=2`
`(dv)/(dx)=-e^(-x);v=e^(-x)`

`int-2xe^(-x)dx=2xe^(-x)-int2e^(-x)dx=2xe^(-x)+2e^(-x)`

`intx^2e^(-x)dx=-x^2e^(-x)-(2xe^(-x)+2e^(-x))=-x^2e^(-x)-2xe^(-x)-2e^(-x)+C=-e^(-x)(x^2+2x+2)+C`