# How do you use the properties of logarithms to expand lnroot3(x^2/y^3)?

Jul 2, 2018

$\textcolor{b l u e}{\frac{2}{3} \ln x - \ln y}$

#### Explanation:

$\sqrt[3]{{x}^{2} / {y}^{3}} = {\left({x}^{2} / {y}^{3}\right)}^{\frac{1}{3}}$

By the laws of logarithms:

$\ln {a}^{b} = b \ln a$

$\ln \left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$

Hence:

$\ln {\left({x}^{2} / {y}^{3}\right)}^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \ln \left({x}^{2} / {y}^{3}\right) = \frac{1}{3} \ln \left({x}^{2}\right) - \frac{1}{3} \ln \left({y}^{3}\right)$

$\setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus = \frac{2}{3} \ln x - \frac{3}{3} \ln y$

$\setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus \setminus = \frac{2}{3} \ln x - \ln y$