# How to evaluate the limit of lim(1/t^2)sin^2(t/2) when t approaches 0?

## $\lim \left(\frac{1}{t} ^ 2\right) {\sin}^{2} \left(\frac{t}{2}\right)$

Mar 6, 2018

$\text{The answer is:} \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \quad \setminus {\lim}_{t \rightarrow 0} \left(\frac{1}{t} ^ 2\right) {\sin}^{2} \left(\frac{t}{2}\right) \setminus = \setminus \frac{1}{4.}$

#### Explanation:

$\text{We can proceed as follows. The idea is to try to take }$
$\text{advantage of the Fundamental Trig Limit:" \quad lim_{ x rarr 0 } sin(x)/x \ = \ 1.}$
$\text{Proceeding:}$

$\setminus q \quad {\lim}_{t \rightarrow 0} \left(\frac{1}{t} ^ 2\right) {\sin}^{2} \left(\frac{t}{2}\right) \setminus = \setminus {\lim}_{t \rightarrow 0} \left(\frac{1}{t} ^ 2\right) {\left[\sin \left(\frac{t}{2}\right)\right]}^{2}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus = \setminus {\lim}_{t \rightarrow 0} {\left[\frac{1}{t} \cdot \sin \left(\frac{t}{2}\right)\right]}^{2}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus = \setminus {\lim}_{t \rightarrow 0} {\left[\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{t} \cdot \sin \left(\frac{t}{2}\right)\right]}^{2}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus = \setminus {\lim}_{t \rightarrow 0} {\left[\frac{1}{2}\right]}^{2} \cdot {\left[\frac{2}{t} \cdot \sin \left(\frac{t}{2}\right)\right]}^{2}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus = \setminus {\lim}_{t \rightarrow 0} \frac{1}{4} \cdot {\left[\sin \frac{\frac{t}{2}}{\frac{t}{2}}\right]}^{2}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus = \setminus \frac{1}{4} {\lim}_{t \rightarrow 0} {\left[\sin \frac{\frac{t}{2}}{\frac{t}{2}}\right]}^{2}$

 color{blue}{ "now use the Fundamental Trig Limit:" \quad lim_{ x rarr 0 } sin(x)/x \ = \ 1; }
$\textcolor{b l u e}{\setminus q \quad \text{continuing:}}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus = \setminus \frac{1}{4} \cdot {\left[1\right]}^{2}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus = \setminus \frac{1}{4} \cdot 1$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus = \setminus \frac{1}{4.}$

$\text{This is our answer:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad {\lim}_{t \rightarrow 0} \left(\frac{1}{t} ^ 2\right) {\sin}^{2} \left(\frac{t}{2}\right) \setminus = \setminus \frac{1}{4.}$