Given:
#z^2-i=0#
#z=x+iy#
#z^2=(x+iy)^2#
#z^2=x^2+2ixy+(iy)^2#
#i^2=-1#
#z^2=(x^2-y^2)+2ixy#
substituting for z^2
#(x^2-y^2)+2ixy-i=0#
#(x^2-y^2)+(2xy-1)i=0+0i#
Equating the real and imaginary parts
#x^2-y^2=0#
#2xy-1=0#
#2xy=1#
#y=1/(2x)#
#x^2-(1/(2x))^2=0#
#x^2-1/(4x^2)=0#
Let
#t=x^2#
#t-1/(4t)=0#
#4t^2-1=0#
#4t^2=1#
#t^2=1/4#
#t=+-1/2#
#t=1/2#
#t=-1/2#
ie
#x^2=1/2#
#x=+-1/sqrt2#
#x=1/sqrt2#
#x=-1/sqrt2#
#x^2=-1/2#
#x=+-i/sqrt2#
#x=i/sqrt2#
#x=-i/sqrt2#
Thus,
Substituting for x,
#x=1/sqrt2 , #
#y=1/(2x)=1/(2xx1/sqrt2)#
#y=1/sqrt2#
#x=-1/sqrt2 , #
#y=1/(2x)=1/(2xx-1/sqrt2)#
#y=-1/sqrt2#
#x=i/sqrt2 , #
#y=1/(2x)=1/(2xxi/sqrt2)#
#y=-i/sqrt2#
#x=-i/sqrt2 , #
#y=1/(2x)=1/(2xx-i/sqrt2)#
#y=i/sqrt2#
We have
#(1/sqrt2,1/sqrt2)#
#(-1/sqrt2,-1/sqrt2)#
#(i/sqrt2,-i/sqrt2)#
#(-i/sqrt2,i/sqrt2)#
as solutions
#z=1/sqrt2+1/sqrt2i#
#z=-1/sqrt2+-1/sqrt2i#
#z=i/sqrt2+1/sqrt2#
#z=-i/sqrt2-1/sqrt2#
Rearranging
#z=1/sqrt2+i/sqrt2#
#z=-1/sqrt2-i/sqrt2#
#z=1/sqrt2+i/sqrt2#
#z=-1/sqrt2-i/sqrt2#
