If {( x − 5) (x^2 − 2 x + 1)} / {( x − 7) (x^2 + 2 x + 3)} is positive for all real value of x,show that x has no value between 5 and 7?

Feb 26, 2018

$\text{Please see proof below.}$

Explanation:

$\text{We are given the function:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad f \left(x\right) \setminus = \setminus \frac{\left(x - 5\right) \left({x}^{2} - 2 x + 1\right)}{\left(x - 7\right) \left({x}^{2} + 2 x + 3\right)} \setminus \quad .$

$\text{Before proceeding, let's rewrite the function a little, primarily}$
$\text{by some factoring:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad f \left(x\right) \setminus = \setminus \frac{\left(x - 5\right) {\left(x - 1\right)}^{2}}{\left(x - 7\right) \left({x}^{2} + 2 x + 1 + 2\right)}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus \frac{\left(x - 5\right) {\left(x - 1\right)}^{2}}{\left(x - 7\right) \left({\left(x + 1\right)}^{2} + 2\right)} \setminus \quad .$

$\text{Thus:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad f \left(x\right) \setminus = \setminus \frac{\left(x - 5\right) {\left(x - 1\right)}^{2}}{\left(x - 7\right) \left({\left(x + 1\right)}^{2} + 2\right)} \setminus \quad .$

$\text{So, we may write, in terms that should be clear:}$

 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad f(x) \ = \ { ( x - 5 ) cdot "positive" } / { ( x - 7 ) ( "positive" + 2 ) }

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus = \setminus \left\{\left(x - 5\right) \cdot \text{positive" } / { ( x - 7 ) cdot "positive}\right\} \setminus \quad .$

$\text{Thus:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad f \left(x\right) \setminus = \setminus \left\{\left(x - 5\right) \cdot \text{positive" } / { ( x - 7 ) cdot "positive}\right\} \setminus \quad .$

$\text{Now suppose:} \setminus \quad 5 < a < 7.$

$\text{So clearly now:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad f \left(a\right) \setminus = \setminus \left\{\left(a - 5\right) \cdot \text{positive" } / { ( a - 7 ) cdot "positive}\right\}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus = \setminus \left\{\text{negative" \ cdot \ "positive" } / { "positive" \ cdot \ "positive}\right\}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus = \setminus \left\{\text{negative" } / { "positive}\right\}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus = \setminus \text{negative} \setminus \quad .$

$\text{So we have shown:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad 5 < a < 7 \setminus \quad \implies \setminus \quad f \left(a\right) \setminus = \setminus \text{negative}$

$\setminus q \quad \text{i.e.": \qquad f(a) \ = \ "positive" \quad => \quad 5 < a < 7 \quad \ "is impossible} .$

$\text{And so, finally:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \frac{\left(x - 5\right) \left({x}^{2} - 2 x + 1\right)}{\left(x - 7\right) \left({x}^{2} + 2 x + 3\right)} \setminus \quad \text{is positive} \setminus \quad \implies$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad 5 < x < 7 \setminus \quad \setminus \text{is impossible} . \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \setminus \square$