We need
#sin^2A+cos^2A=1#
#cos2A=2cos^2A-1#
#sin2A=2sinAcosA#
#sin3A=sin2AcosA+cos2AsinA#
#=2sinAcos^2A+sinA(2cos^2A-1)#
#=sinA(-1+4cos^2A)#
#cos3A=cos2AcosA-sin2AsinA#
#=(2cos^2A-1)cosA-2sinAcosAsinA#
#=2cos^3A-cosA-2cosA(1-cos^2A)#
#=4cos^3A-3cosA#
Therefore,
#LHS=(sin2A)/(2sin3A)*(4(cos2A)^2-1)#
#=(cancel(2sinA)cosA)/(cancel(2sinA)(-1+4cos^2A))*(4(2cos^2A-1)^2-1)#
#=cosA/((-1+4cos^2A))*(16cos^4A-16cos^2A+4-1)#
#=cosA/(cancel((4cos^2A-1)))*cancel((4cos^2A-1))(4cos^2A-3)#
#=cosA(4cos^2A-3)#
#=4cos^3A-3cosA#
#=cos3A#
#=RHS#
#QED#