# What is cosAcosBcosC-sinAsinBcosC-sinAcosBsinC-cosAsinBsinC?

$\setminus \cos \left(A + B + C\right)$

#### Explanation:

Let's consider

1)

$\setminus \cos A \setminus \cos B \setminus \cos C - \setminus \sin A \setminus \sin B \setminus \cos C$

$= \left(\setminus \cos A \setminus \cos B - \setminus \sin A \setminus \sin B\right) \setminus \cos C$

$= \left(\setminus \cos \left(A + B\right)\right) \setminus \cos C$

$= \setminus \cos \left(A + B\right) \setminus \cos C \setminus \ldots \ldots \ldots \ldots . . \left(1\right)$

2)

$\setminus \sin A \setminus \cos B \setminus \sin C + \setminus \cos A \setminus \sin B \setminus \sin C$

$= \left(\setminus \sin A \setminus \cos B + \setminus \cos A \setminus \sin B\right) \setminus \sin C$

$= \left(\setminus \sin \left(A + B\right)\right) \setminus \sin C$

$= \setminus \sin \left(A + B\right) \setminus \sin C \setminus \ldots \ldots \ldots \ldots \left(2\right)$

Now, subtracting (2) from (1) we get

$\setminus \cos A \setminus \cos B \setminus \cos C - \setminus \sin A \setminus \sin B \setminus \cos C - \left(\setminus \sin A \setminus \cos B \setminus \sin C + \setminus \cos A \setminus \sin B \setminus \sin C\right) = \setminus \cos \left(A + B\right) \setminus \cos C - \setminus \sin \left(A + B\right) \setminus \sin C$

$\setminus \cos A \setminus \cos B \setminus \cos C - \setminus \sin A \setminus \sin B \setminus \cos C - \setminus \sin A \setminus \cos B \setminus \sin C - \setminus \cos A \setminus \sin B \setminus \sin C = \setminus \cos \left(\setminus \overline{A + B}\right) \setminus \cos C - \setminus \sin \left(\setminus \overline{A + B}\right) \setminus \sin C$

$= \setminus \cos \left(\setminus \overline{A + B} + C\right)$

$= \setminus \cos \left(A + B + C\right)$