Let
#y=(lnx)^2 /(x^3)#
#intydx=int(lnx)^2 /(x^3)dx#
Let
#t=lnx#
#e^t=x#
#e^2t=x^2#
#t^2=(lnx)^2#
#(dt)/dx=1/x#
#dt=1/xdx#
#intydx=int(lnx)^2 /(x^2)(1/xdx)#
#=intt^2/e^(2t)dt#
#intydx=intt^2e^(-2t)dt#
integrating by parts
#intudv=uv-intvdu#
#u=t^2#
#du=2tdt#
#dv=e^-2tdt#
#v=-1/2e^(-2t)#
#intt^2e^(-2t)dt=t^2(-1/2e^(-2t))-int(-1/2e^(-2t))(2tdt)#
#=-t^2/2e^(-2t)+intte^(-2t)dt#
#=-t^2/2e^(-2t)+I_1#
where
#I_1=intte^(-2t)dt#
integrating by parts
#intudv=uv-intvdu#
#u=t#
#du=dt#
#dv=e^(-2t)dt#
#v=-1/2e^(-2t)#
#intte^(-2t)dt=t(-1/2e^(-2t))-int(-1/2e^(-2t))dt#
#=-1/2te^(-2t)+1/2(-1/2)e^(-2t)#
#intte^(-2t)dt=-1/2te^(-2t)-1/4e^(-2t)#
#I_1=-1/2te^(-2t)-1/4e^(-2t)#
#intt^2e^(-2t)dt=-t^2/2e^(-2t)+I_1#
#intt^2e^(-2t)dt=-t^2/2e^(-2t)+(-1/2te^(-2t)-1/4e^(-2t))#
#intt^2e^(-2t)dt=-t^2/2e^(-2t)-1/2te^(-2t)-1/4e^(-2t)#
#intt^2e^(-2t)dt=-1/4(2t^2+2t+1)e^-2t#
Replacing
#t=lnx#
#e^(-2t)=1/x^2#
#int(lnx)^2/x^2(1/x)dx=-1/4(2(lnx)^2+2lnx+1)(1/x^2)#
#int(lnx)^2/x^3dx=-1/(4x^2)(2(lnx)^2+2lnx+1)#
#int(lnx)^2/x^3dx=-((2(lnx)^2+2lnx+1))/(4x^2)#
