What is the limits of : #LIM_(x->0) (e^(2x)-1)^(x^2)# ?

1 Answer
May 9, 2018

#lim_(x->0)(e^(2x)-1)^(x^2)=1#

Explanation:

#lim_(x->0)(e^(2x)-1)^(x^2)=^((0^0)# ?

  • #(e^(2x)-1)^(x^2)=e^(ln(e^(2x)-1)^(x^2))=e^(x^2ln(e^(2x)-1)#

#lim_(x->0)x^2ln(e^(2x)-1)=lim_(x->0)ln(e^(2x)-1)/(1/x^2)=^(((-oo)/(+oo))#

Using L'Hospital Rules we get:

#lim_(x->0)((2e^(2x))/(e^(2x)-1))/(-2/x^3)# #=#

#-lim_(x->0)(x^3e^(2x))/(e^(2x)-1)=_(DLH)^((0/0))#

#-lim_(x->0)(3x^2e^(2x)+2x^3e^(2x))/(2e^(2x))=0/2=0#

As a result,

#lim_(x->0)(e^(2x)-1)^(x^2)=lim_(x->0)e^(x^2ln(e^(2x)-1)#

Set

#x^2ln(e^(2x)-1)=u#
#x->0#
#u->0#

#=# #lim_(u->0)e^u=e^0=1#