Let #x=sin(pi/7)sin((2pi)/7)sin((3pi)/7).....[1]#
and
#y=cos(pi/7)cos((2pi)/7)cos((3pi)/7)........[2]#
So
#8xy=2sin(pi/7)cos(pi/7) xx2sin((2pi)/7)cos((2pi)/7)xx2sin((3pi)/7)cos((3pi)/7)#
#=sin((2pi)/7)sin((4pi)/7)sin((6pi)/7)#
#=sin((2pi)/7)sin(pi-(3pi)/7)sin(pi-pi/7)#
#=sin((2pi)/7)sin((3pi)/7)sin(pi/7)=x#
Hence #y=1/8#
Now let
#cos(pi/7)=a,cos((2pi)/7)=b,cos((3pi)/7)=c#
So
#y=cos(pi/7)cos((2pi)/7)cos((3pi)/7)=abc=1/8#
Again
#8x^2=8sin^2(pi/7)sin^2((2pi)/7)sin^2((3pi)/7)#
#=[1-cos((2pi)/7)][1-cos((4pi)/7)][1-cos((6pi)/7)]#
#=[1-cos((2pi)/7)][1+cos((3pi)/7)][1+cos(pi/7)]#
#=(1-b)(1+c)(1+a)#
#=(1-b)(1+c)(1+a)#
#=1+a-b+c+ac-ab-bc-abc#
#=1+a-b+c+ac-ab-bc-1/8#
#=>8x^2=7/8+a-b+c+ac-ab-bc#
Now
#ac-ab-bc=1/2(2ac-2ab-2bc)#
#=1/2[2cos(pi/7)cos((3pi)/7)
-2cos(pi/7)cos((2pi)/7)-2cos((2pi)/7)cos((3pi)/7)]#
#=1/2[cos((4pi)/7)+cos((2pi)/7)
-cos((3pi)/7)-cos(pi/7)-cos((5pi)/7)-cos(pi/7)]#
#=1/2[-cos((3pi)/7)+cos((2pi)/7)
-cos((3pi)/7)+cos((2pi)/7)-2cos(pi/7)]#
#=1/2[2cos((2pi)/7)
-2cos((3pi)/7)-2cos(pi/7)]#
#=b-a-c#
#=>ac-ab-bc+a-b+c=0#
Hence we get
#=>8x^2=7/8+a-b+c+ac-ab-bc#
#=>8x^2=7/8+0#
#=>x^2=7/64#
#=>x=sqrt7/8#
Now dividing [1] by [2] ad squaring we get
#tan^2(pi/7)tan^2((2pi)/7)tan^2((3pi)/7)=x^2/y^2=7#
