#LHS=sin 78° + cos 132°#
#=sin (90^@-12°) + cos 132°#
#=cos12° + cos 132°#
#=2cos72°cos60°#
#=2cos(90^@-18°)*1/2#
#=sin18°#
# = (√5 - 1)/4# [Please see below]
Let #x=18^@#
#=>5x=90^@#
#=>cos3x=cos(90^@-2x)#
#=>4cos^3x-3cosx=sin2x#
#=>4cos^3x-3cosx=2sinxcosx#
As #cosx!=0#
We get
#=>4cos^2x-3=2sinx#
#=>4-4sin^2x-3=2sinx#
#=>4sin^2x+2sinx-1=0#
#=>sinx=(-2+sqrt(2^2-4*4(-1)))/(2*4)#
#=>sinx=(-2+sqrt20)/(2*4)#
#=>sinx=(-2+2sqrt5)/(2*4)#
#=>sinx=(sqrt5-1)/4#
#=>sin18^@=(sqrt5-1)/4#