a)
#\lim_{x\to \infty}\frac{x+2}{x^2+x+1}#
#=\lim_{x\to \infty}\frac{x/x^2+2/x^2}{x^2/x^2+x/x^2+1/x^2}#
#=\lim_{x\to \infty}\frac{1/x+2/x^2}{1+1/x+1/x^2}#
#=\frac{0+0}{1+0+0}#
#=0#
b)
#lim_{x\to 4}\frac{1}{\sqrtx-2}-4/{x-4}#
#=lim_{x\to 4}\frac{x-4-4(\sqrtx-2)}{(\sqrtx-2)(x-4)}#
#=lim_{x\to 4}\frac{x-4-4\sqrtx+8}{(\sqrtx-2)(x-4)}#
#=lim_{x\to 4}\frac{x-4\sqrtx+4}{(\sqrtx-2)(x-4)}#
#=lim_{x\to 4}\frac{(\sqrtx-2)^2}{(\sqrtx-2)(x-4)}#
#=lim_{x\to 4}\frac{\sqrtx-2}{x-4}#
Applying L'Hopital's rule for #0/0# form,
#=lim_{x\to 4}\frac{d/dx(\sqrtx-2)}{d/dx(x-4)}#
#=lim_{x\to 4}\frac{1/{2\sqrtx}}{1}#
#=1/2 lim_{x\to 4}1/{\sqrtx}#
#=1/2 \cdot1/{2}#
#=1/4#
