Expand the square then use the linearity of the integral:
#int_(-pi/3)^(pi/3) (absx+tanx)^2 dx = int_(-pi/3)^(pi/3) x^2dx + 2int_(-pi/3)^(pi/3) absxtanxdx +int_(-pi/3)^(pi/3) tan^2xdx#
Solve the integrals separately:
#(1)#
#int_(-pi/3)^(pi/3) x^2dx = [x^3/3]_(-pi/3)^(pi/3) = (2pi^3)/81#
#(2)#
Separate the integration interval in #(-pi/3,0)# and #(0,pi/3)#.
In the first interval we then have #absx = -x# and in the second #abs x = x#
#int_(-pi/3)^(pi/3) absxtanx = int_(-pi/3)^(0) absxtanxdx + int_(0)^(pi/3) absxtanxdx#
#int_(-pi/3)^(pi/3) absxtanx = int_(-pi/3)^(0) -xtanxdx + int_(0)^(pi/3) xtanxdx#
Substitute #t=-x# in the first integral:
#int_(-pi/3)^(pi/3) absxtanx = int_(pi/3)^(0) t tan(-t)d(-t) + int_(0)^(pi/3) xtanxdx#
Exchange the limits of integration:
#int_(-pi/3)^(pi/3) absxtanx = -int_(0)^(pi/3) t tantdt + int_(0)^(pi/3) xtanxdx = 0#
#(3)#
#int_(-pi/3)^(pi/3) tan^2xdx = int_(-pi/3)^(pi/3) (sec^2x-1) dx#
#int_(-pi/3)^(pi/3) tan^2xdx = int_(-pi/3)^(pi/3) sec^2xdx -int_(-pi/3)^(pi/3)dx#
#int_(-pi/3)^(pi/3) tan^2xdx = [tanx-x]_(-pi/3)^(pi/3) = 2sqrt3-(2pi)/3#
