# How do you find the integral of dx/(x(sqrt(3 + x^2)))?

$\setminus \int \setminus \frac{\mathrm{dx}}{x \setminus \sqrt{3 + {x}^{2}}} = \frac{1}{\setminus} \sqrt{3} \setminus \ln | \setminus \tan \left(\frac{1}{2} \setminus {\tan}^{- 1} \left(\frac{x}{\setminus} \sqrt{3}\right)\right) | + C$

#### Explanation:

Let $x = \setminus \sqrt{3} \setminus \tan \setminus \theta \setminus \implies \mathrm{dx} = \setminus \sqrt{3} \setminus {\sec}^{2} \setminus \theta \setminus d \setminus \theta$

$\setminus \int \setminus \frac{\mathrm{dx}}{x \setminus \sqrt{3 + {x}^{2}}}$

$= \setminus \int \setminus \frac{\setminus \sqrt{3} \setminus {\sec}^{2} \setminus \theta \setminus d \setminus \theta}{\setminus \sqrt{3} \setminus \tan \setminus \theta \setminus \sqrt{3 + 3 \setminus {\tan}^{2} \setminus \theta}}$

$= \setminus \int \setminus \frac{\setminus {\sec}^{2} \setminus \theta \setminus d \setminus \theta}{\setminus \sqrt{3} \setminus \tan \setminus \theta \setminus \sqrt{1 + \setminus {\tan}^{2} \setminus \theta}}$

$= \setminus \int \setminus \frac{\setminus {\sec}^{2} \setminus \theta \setminus d \setminus \theta}{\setminus \sqrt{3} \setminus \tan \setminus \theta \setminus \sec \setminus \theta}$

$= \frac{1}{\setminus} \sqrt{3} \setminus \int \setminus \frac{\setminus \sec \setminus \theta \setminus d \setminus \theta}{\setminus \tan \setminus \theta}$

$= \frac{1}{\setminus} \sqrt{3} \setminus \int \setminus \frac{\setminus \sec \setminus \theta \setminus \cos \setminus \theta \setminus d \setminus \theta}{\setminus \sin \setminus \theta}$

$= \frac{1}{\setminus} \sqrt{3} \setminus \int \setminus \frac{d \setminus \theta}{\setminus \sin \setminus \theta}$

$= \frac{1}{\setminus} \sqrt{3} \setminus \int \setminus \cos e c \setminus \theta d \setminus \theta$

$= \frac{1}{\setminus} \sqrt{3} \setminus \ln | \setminus \tan \left(\setminus \frac{\theta}{2}\right) | + C$

$= \frac{1}{\setminus} \sqrt{3} \setminus \ln | \setminus \tan \left(\frac{1}{2} \setminus {\tan}^{- 1} \left(\frac{x}{\setminus} \sqrt{3}\right)\right) | + C$