#II^(nd) Method#
Here,
#I=sqrt(x^2+9) dx...to(1)#
#I=intsqrt(x^2+9)*1dx#
#"Using "color(blue)"Integration by Parts :"#
#color(blue)(intu*vdx=uintvdx-int(u'intvdx)dx#
Let #u=sqrt(x^2+9) and v=1#
#=>u'=(2x)/(2sqrt(x^2+9))=x/sqrt(x^2+9) and intvdx=x+c#
So,
#I=sqrt(x^2+9)*x-intx/sqrt(x^2+9)*xdx#
#I=xsqrt(x^2+9)-intx^2/sqrt(x^2+9)dx#
#I=xsqrt(x^2+9)-int((x^2+9)-9)/sqrt(x^2+9)dx#
#I=xsqrt(x^2+9)-int(x^2+9)/sqrt(x^2+9)dx+int9/sqrt(x^2+9)dx#
#I=xsqrt(x^2+9)-intsqrt(x^2+9)dx+9int1/sqrt(x^2+3^2)dx#
#I=xsqrt(x^2+9)-I+9ln|x+sqrt(x^2+3^2)|+Cto#from #(1)#
#I+I=xsqrt(x^2+9)+9ln|x+sqrt(x^2+9)|+C#
#2I=xsqrt(x^2+9)+9ln|x+sqrt(x^2+9)|+C#
#I=x/2sqrt(x^2+9)+9/2ln|x+sqrt(x^2+9)|+C#