#I=int (e^(3x)*dx)/(1+e^x)#
=#int [e^(3x)*(e^x+1)*dx]/(1+e^x)^2#
=#int (e^(3x)+e^(2x))*(e^x*dx)/(1+e^x)^2#
=#(e^(3x)+e^(2x))*-1/(e^x+1)#+#int ((3e^(3x)+2e^(2x))*dx)/(1+e^x)-2C#
=#-(e^(3x)+e^(2x))/(e^x+1)#+#3*int (e^(3x)*dx)/(1+e^x)#+#int
(2e^(2x)*dx)/(1+e^x)-2C#
=#-(e^(2x)*(e^x+1))/(e^x+1)#+#3I#+#int (2e^(2x)*dx)/(1+e^x)-2C#
=#-e^(2x)+3I#+#int (2e^(2x)*dx)/(1+e^x)-2C#
Hence #-2I#=#-e^(2x)#+#int (2e^(2x)*dx)/(1+e^x)#-#2C#
#J=int (2e^(2x)*dx)/(1+e^x)#
=#int (2e^(2x)*(e^x+1)*dx)/(1+e^x)^2#
=#int (2e^(2x)+2e^x)*(e^x*dx)/(1+e^x)^2#
=#(2e^(2x)+2e^x)*-1/(e^x+1)#+#int ((4e^(2x)+2e^x)*dx)/(e^x+1)#
=#-(2e^(2x)+2e^x)/(e^x+1)#+#2*int (2e^(2x)*dx)/(e^x+1)#+#2*int (e^x*dx)/(e^x+1)#
=#(-2e^x*(e^x+1))/(e^x+1)+2J+2Ln(e^x+1)#
=#-2e^x+2J+2Ln(e^x+1)#
So,
#-J=-2e^x+2Ln(e^x+1)# or,
#J=2e^x-2Ln(e^x+1)#
Thus,
#-2I#=#-e^(2x)+J-2C#
=#-e^(2x)+2e^x-2Ln(e^x+1)-2C# or,
#I#=#1/2*e^(2x)-e^x+Ln(e^x+1)+C#
